Dados dos puntos fijos, B y C en la figura, se trata de determinar las posiciones que puede ocupar el punto A para que la diferencia entre los cuadrados de la distancia desde A a dichos puntos sea constante.
Para determinar este lugar geométrico haremos uso del teorema de pitágoras. Buscaremos triángulos rectángulos y relacionaremos la longitud de sus lados (distancia entre sus vértices) mediante este célebre teorema.
En la figura supondremos que B y C son los puntos fijos, y A pertenece al lugar geométrico buscado. La distancia "a" entre B y C es un valor constante, no varía al ser B y C dos puntos fijos. Si se determina el punto medio M de este lado y el punto H en la perpendicular desde A al lado BC, obtendremos la altura h y la mediana m del triángulo ABC.
Aplicando pitágoras a los triángulos ABH y AHC tendremos:
Que nos relaciona los cuadrados de los lados de los triángulos (distancias buscadas). Si restamos una ecuación a la otra tendremos:
Esta ecuación nos indica que si queremos que la diferencia de cuadrados sea constante, el producto 2ad debe de serlo y, como a es un valor constante, el segmento d debe permanecer invariable.
Geométricamente debe mantenerse fijo el punto H y por lo tanto el punto A, que se encuentra sobre la altura del triángulo, debe permenecer sobre una recta perpendicular a BC que pase por H.
El lugar geométrico de puntos cuya diferencia de cuadrados de distancias a dos puntos fijos es constante, es una recta perpendicular al segmento que determinan los puntos fijos.
Este lugar geométrico es de gran interés para el estudio del eje radical de dos circunferencias.
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