La estructura del arbol se ha creado con formas toroidales (toro de revolución) que se han repetido mediante el operador "Array" escalando su tamaño.
Sobre el modelo, representado en modo alámbrico, se ha generado un sistema de partículas representadas por un grupo de objetos geométricos: Cubos, pirámides, icosaedros etc.
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Los alumnos que han elaborado este trabajo son sensibles a ello y destacan por tanto una de las aplicaciones de las enseñanzas que han recibido.
El grupo "HAFF" nos aporta otra interesante muestra de aprendizaje transversal en el campo de la geometría proyectiva.
La carta aeronáutica se define como la representación de una porción de la tierra, su relieve y construcciones, diseñada especialmente para satisfacer los requisitos de la navegación aérea. Se trata de un mapa en el que se reflejan las rutas que deben seguir las aeronaves, y se facilitan las ayudas, los procedimientos y otros datos imprescindibles para el piloto.(W)
En esta entrada se tratarán los principales tipos de proyecciones que se realizan en cartografía para elaborar cartas de navegación. En el campo de la aeronáutica, esto tiene cierta importancia para la navegación aérea, puesto que hoy en día los pilotos utilizan las cartas de navegación a pesar de la existencia de radioayudas, el radar y el GPS.
El principal problema que surge es que la superficie de la Tierra no es desarrollable y por ello no es posible proyectarla con total fidelidad sobre un plano. Así, cada tipo de proyección tendrá sus limitaciones, en las cuales una tripulación se basa para escoger un mapa, en función del tipo de ruta.
En la aeronáutica, las superficies de proyección que se utilizan son el plano, el cilindro y el cono, dando lugar a las proyecciones planas, cilíndricas y cónicas.
En función del punto desde el que proyectamos los puntos del planeta sobre el plano, podemos dividirlas en:
Para hacer una carta de navegación, es importante tener en cuenta ciertos conceptos que describimos a continuación.
Una buena proyección debe ser conforme y equivalente. Pero es imposible tener una proyección que satisfaga estas características por completo. Por ello, se buscan soluciones intermedias. La conformidad y la equivalencia no son fáciles de darse a la vez puesto que una proyección de una figura que conserva sus ángulos no conservará su área.
Otros conceptos a tener en cuenta, a fines de navegación, son el cómo se transformará una línea loxodrómica y una ortodrómica en la proyección. Veamos estos dos conceptos:
Se llama círculo máximo a la intersección de una esfera con un plano que pase por su centro. Es decir, una circunferencia de radio máximo en la esfera. Por ejemplo, todos los meridianos son círculos máximos. Pero no todos los paralelos, puesto que van reduciendo su radio conforme aumentamos o bajamos de latitud desde el ecuador (que es un círculo máximo).
Pues bien, una línea (o ruta) ortodrómica es aquélla que es un arco de círculo máximo y, por ello, el camino más rápido entre dos puntos. Sin embargo, cuando nos movemos con un rumbo fijo con nuestra aeronave, no estamos realizando este tipo de trayectoria, sino que estamos volando en una loxodrómica, que es aquélla ruta que corta a los meridianos con el mismo ángulo (lo que ocurre al mantener un rumbo geográfico constante). Describiríamos una trayectoria como la de la imagen. Es decir, para volar en una ortodrómica habría que estar cambiando de rumbo constantemente. Aunque hay que tener en cuenta que esto ocurre a gran escala y para viajes de corto alcance esto influye en mucho menor grado.
[/caption]Dicho esto, para el piloto de la nave, es importante saber cómo se va a representar una loxodrómica y una ortodrómica. Una forma de verlo rápidamente es fijarnos en la forma que tienen los meridianos (círculos máximos) en nuestra carta. Si vemos que son lo más rectilíneos posibles, nos será más útil. Veamos a continuación los distintos tipos de proyecciones y cómo están presentes estas cualidades en ellas.
 Gnomónica polar: No es conforme y, al igual que en la anterior, conforme nos alejamos del polo las formas se distorsionan en mayor grado. Los paralelos y los meridianos son ortogonales. Las líneas ortodrómicas son líneas rectas y las loxodrómicas son líneas curvas. |
 Cilíndrica Mercator: Es conforme y la distorsión de áreas y formas aumenta con el alejamiento del ecuador (no es indicada para representar todo el globo terráqueo). Los paralelos y los meridianos son ortogonales. Los paralelos se presentan como líneas rectas paralelas desigualmente espaciadas. Los meridianos aparecen como rectas paralelas igualmente espaciadas. Las líneas ortodrómicas son curvas, a excepción de los meridianos y el ecuador. La línea loxodrómica será una recta. El origen de la proyección es el centro de la esfera y el plano de proyección es tangente a ésta en el ecuador. Es muy utilizada en navegación por la facilidad de trazar loxodrómicas. Una descripción matemática de la proyección puede encontrarse en: Proyección de Mercator |
 Cónica conforme de Lambert: Se trata de la proyección más utilizada en la Aviación General (entre ellas la carta de la OACI 1: 500.000). Es conforme y la distorsión de áreas y formas es muy ligera. Los paralelos y los meridianos son ortogonales y la escala de distancias es prácticamente constante. Los paralelos se presentan como arcos de círculos concéntricos casi igualmente distanciados. Los meridianos aparecen como líneas rectas que convergen en el polo. Las ortodrómicas son aproximadamente rectas y las loxodrómicas son curvas. Se proyecta desde el centro de la esfera hacia una superficie cónica, que corta al plano de proyección (carta) en dos paralelos llamados estándar o automecoicos. Se utiliza prácticamente para todos los tipos de navegación. |
En este caso se ha construido un árbol de navidad mediante una transformación geométrica, un helicoide.
Los puntos de la curva se han sustituido por cubos que se han representado en modo de alambre.
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El concepto de medida del espacio euclídeo lo adopta en su definición de distancia, y las relaciones geométricas derivadas son de suma importancia.
A pitágoras debemos otros teoremas menos conocidos, así como el reconocimiento a la escuela de geómetras que creó, de la que hoy nos beneficiamos todos.
Pitágoras de Samos (aproximadamente 582 - 507 a. C., en griego: Πυθαγόρας ο Σάμιος) fue un filósofo y matemático griego, famoso sobre todo por el Teorema de Pitágoras, que en realidad pertenece a la escuela pitagórica y no solo a Pitágoras. Su escuela afirmaba «todo es número», por ello, se dedicó al estudió y clasificación de los números.(W)
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.(w)
El Chou Pei es una obra matemática de datación discutida en algunos lugares, aunque se acepta mayoritariamente que fue escrita entre el 500 y el 300 a. C.Se cree que Pitágoras no conoció esta obra. En cuanto al Chui Chang parece que es posterior, está fechado en torno al año 250 a. C.
El Chou Pei demuestra el teorema construyendo un cuadrado de lado (a+b) que se parte en cuatro triángulos de base a y altura b, y un cuadrado de lado c (W)
Esta ecuación expresa que el área de un cuadrado de lado "a" es igual a la suma de las áreas de dos cuadrados, uno de lado "b" y otro de lado "c". Si denominamos "a" a la hipotenusa (lado más largo) de un triángulo rectángulo y "b" y "c" a los catetos, gráficamente se puede representar con la siguiente figura.
Para demostrar que esta ecuación se cumple, usaremos dos nuevas figuras obtenidas a partir de cuadrados de lado "b+c". En el primero se dibuja un cuadrado inscrito de lado a cuyo área será el cuadrado de este lado. Para completar el área del cuadrado del que hemos partido deberemos añadir cuatro triángulos rectángulos iguales (azul claro).
En la figura de la derecha se han formado dos cuadrados, uno de lado "b" y otro de lado "c". Para completar el área total se necesitan de nuevo cuatro triángulos rectángulos, lo mismo que en el caso anterior, lo que permite asegurar que el cuadrado de lado "a" tiene un área igual a la de la suma de los otros dos cuadrados.
Hay dos propiedades del triángulo rectángulo (un ángulo es recto) que tienen especial importancia para el desarrollo de conceptos más elaborados como son los de potencia e inversión que permiten desarrollar los modelos que analizan las tangencias Son los denominados teoremas de la altura y del cateto.
En la figura se ha representado un triángulo rectángulo que reposa sobre su hipotenusa. La altura del triángulo es la distancia del vértice "A" a la hipotenusa (su base).
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Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, el tercero también lo es. Esto es así ya que la suma de los ángulos internos de un triángulo siempre son180º sexagesimales.
Para demostrar que dos triángulos son semejantes basta con demostrar que tienen dos ángulos iguales.
En la figura anterior podemos encontrar tres triángulos semejantes: ABC, ABH y HCA. Los tres triángulos tienen un ángulo recto, y dos a dos comparten un ángulo, luego el tercero vale lo mismo.
Podemos por tanto, aplicando Thales, establecer algunas igualdades como:
BA/BC = BH/BA o AH/HC = BH/AH
siendo BA la distancia entre los puntos A y B etc.
Los siguientes teoremas se obtienen directamente de las relaciones anteriores:
Por ejemplo, un triángulo tiene tres alturas. Si la medimos desde el vértice "A" la etiquetaremos con el subíndice "a" en minúscula.
Los lados opuestos a un vértice se etiquetarán con la misma letra pero en minúsculas
Para contestar a las preguntas, se recomienda buscar primero las posibles relaciones que se derivan de aplicar los teoremas expuestos (cateto y altura).
Es interesante tratar de identificar gráficamente cada uno de los elementos que aparecen en la ecuación que se presenta.
H divide a la hipotenusa en dos segmentos.
En este caso se ha utilizado incorrectamente la designación de los vértices del triángulo, ya que se debe usar la letra "A" para el que contiene el ángulo recto.
Recuerda que debes identificar gráficamente los segmentos que se relacionan con la figura.
El interés es formar gráficamente de forma que las expresiones matemáticas no sean el nucleo formativo. Las construcciones gráficas son las que deben primar en un aprendizaje de la geometría básica para poder alcanzar altos niveles de abstracción.
[/caption]Este artículo está dedicado a la memoria del profesor D. Victorino González García, maestro de maestros, que me inculcó su amor por la geometría.
Las curvas cónicas que se estudian en el apartado de geometría métrica tienen un alto interés en los estudios de ingeniería aeronáutica, ya que permiten describir las trayectorias de los cuerpos sometidos a las leyes gravitatorias. Sin embargo, como claramente destacan en sus trabajos, no son los únicos campos de aplicación. El breve artículo que sigue, realizado por el grupo de alumnos autodenominado "El laberinto del Ángulo" es una muestra de estas inquietudes de relación con lo cotidiano.
Seguro que ya sabes que las elipses y parábolas son curvas son muy importantes en Física ya que se ajustan perfectamente a la representación matemática de muchos fenómenos.
Pero también vemos elipses y parábolas en nuestra vida cotidiana sin que nos demos cuenta de ello. A continuación te mostramos algunos ejemplos.
Un ejemplo es una pelota que bota desplazándose en la cual la parábola va haciendo más pequeña debido a la pérdida de energía desperdiciada en cada bote.
Otro ejemplo de bonitos arcos parabólicos son los creados por las fuentes de las ciudades sean las fuentes ‘‘Cibeles’’, ‘‘Neptuno’’o las del Paseo del Prado de Madrid.
También podemos encontrar formas parabólicas cuando un haz luminoso se proyecta cónicamente sobre una pared blanca de forma que la pared sea paralela a la generatriz del cono.
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O también en una antena parabólica (o para el seguimiento de satélites) la cual aprovecha una de las propiedades más importantes de la parábola que es cualquier rayo que incida de forma paralela al eje de la parábola rebota en su superficie pasando por el foco concentrando los rayos en este punto. También es el caso del faro del coche, cocina solar...
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Algunos ejemplos son las plazas con ''forma elíptica'' que podemos encontrar en ciudades como Madrid o Bilbao pero sin duda la más famosa e impresionante es la Plaza de San Pedro en el Vaticano.
O también la iglesia del Monasterio de San Bernardo en Alcalá de henares (Madrid) ,más conocido como ''Las Bernardas''. Un templo de una única nave y planta elíptica con cúpula del mismo trazado.
Mis alumnos han interiorizado este concepto y en sus blogs es un tema recurrente.
El número de grados de libertad en ingeniería se refiere al número mínimo de parámetros que necesitamos especificar para determinar completamente la velocidad de un mecanismo o el número de reacciones de una estructura.(W)
Os dejo este análisis del grupo HAFF que con sus propias palabras nos acercan a estos conceptos de alto interés formativo
Otra cosa importante a destacar es la diferencia entre los grados de libertad y las restricciones geométricas. Los grados de libertad nos dan información acerca de la LIBERTAD con la que podemos construir una figura en función del número de estos; en cambio, las restricciones lo que nos indican son las características de nuestra figura a construir que no son libres. Por ejemplo, un paralelismo o la medida de una arista o un ángulo. Ambos están relacionados mediante una fórmula muy simple:
P=N-R
donde P (Número de parámetros necesarios para construir la figura), N (Número de grados de libertad que tiene la figura general) y R (Número de restricciones que se aplican a la construcción).
La forma de hallar el número de grados de libertad sigue una forma muy sencilla. El número total es el número de vértices por los grados de libertad de un vértice. En este caso, en el plano, cada vértice tiene 2 grados de libertad (ordenada y coordenada), en el espacio 3 (altura, profundidad) y sucesivamente por cada dimensión añadida del espacio, un grado de libertad más.
| Tipos de Restricciones |
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Un cuadrado genérico en el plano (se da por conocida la figura, espero…) consta de 4 vértices, pertenece a la familia de los cuadrivértices por lo que tendría un total de 8 grados de libertad. Ahora bien, la palabra “cuadrado”, en sí, es la que nos da las distintas restricciones.
Resumiendo, el cuadrivértice poseía de manera genérica 8 grados de libertad. Al definirlo como cuadrado nos da un total de 4 restricciones (las de forma) dejando libres 4 grados de libertad. En otro caso no genérico, estos grados de libertad estarían definidos de alguna forma incrementando el número de restricciones del mismo.
Este trabajo ha sido realizado por los alumnos de la EUIT Aeronáutica de la Universidad Politécnica de Madrid dentro del marco de los proyectos de innovación educativa Blogs educativos experimentales e INNOVABLOG
Uno de los teoremas más importantes de la geometría métrica es el enunciado por Thales de Mileto. Junto con el teorema de Pitágoras establecen las bases fundamentales de la axiomática de las geometrías métrica y proyectiva.
Tales de Mileto[/caption]Tales de Mileto (en griego Θαλῆς ὁ Μιλήσιος) (ca. 630 - 545 a. C ) fue el iniciador de la indagación racional sobre el universo. Se le considera el primer filósofo de la historia de la filosofía occidental, y fue el fundador de la escuela jónica de filosofía, según el testimonio de Aristóteles. Fue el primero y más famoso de los Siete Sabios de Grecia (el sabio astrónomo), y habría tenido, según una tradición antigua no muy segura, como discípulo y protegido a Pitágoras.
Fue además uno de los más grandes matemáticos de su época, centrándose sus principales aportaciones en los fundamentos de la geometría.(W)
El teorema de Thales establece la noción de semejanza entre dos triángulos relacionando la longitud de dos de sus lados. Permite definir un invariante proyectivo de aplicación a los sistemas de proyección cilíndricos: La razón simple.
Si cortamos dos rectas cualesquiera por varias rectas paralelas,los segmentos correspondientes en ambas son proporcionales,es decir, se corresponden en la igualdad ,en la suma y en la resta.
Teorema de Thales[/caption]Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.(W)
El teorema establece las siguientes igualdades entre los cocientes de dos lados homólogos en dos triángulos semejantes:
La escala es la relación matemática que existe entre las dimensiones reales y las del dibujo que representa la realidad sobre un plano o un mapa.(W)
Escala = Medida lineal en el Dibujo/Medida lineal del objeto real
E= D / R
Una escala se construye sobre un soporte rectilíneo. Cada parte numerada se denomina módulo. La parte que se encuentra a la izquierda del cero se llama contraescala.
Elementos de una escala[/caption]Como ejemplo de aplicación supongamos que queremos construir la escala 7/9.
Usaremos un soporte rectilíneo de longitud 7 unidades que representará las medidas del dibujo y una recta auxiliar de longitud nueve unidades unida por un extremo a la anterior que representará la medida de la realidad.
Uniremos los dos extremos libres de ambas rectas e iremos trazando paralelas a esta última recta por cada una de las unidades de la recta auxiliar.
Ejemplo de construcción de la escala 7/9[/caption]Los siguientes ejercicios permiten profundizar y asentar los conceptos tratados que serán fundamentales para, posteriormente, entender los invariantes proyectivos que usaremos en los sistemas de representación.
Sistemas_de_representacion[/caption]
