Geometría métrica : Concepto de "Potencia de un punto respecto de una circunferencia"

El concepto de potencia de un punto respecto de una circunferencia permite relacionar las nociones estudiadas en los teorema de Thales y Pitágoras y es la puerta para el estudio de los problemas de tangencias y transformaciones como la inversión.

Usaremos los conceptos de arco capaz sobre un segmento en nuestras demostraciones, por lo que se sugiere su repaso.

Este concepto se basa en el producto de dos segmentos y, como veremos mas adelante, permite determinar algunos lugares geométricos de gran importancia como por ejemplo el eje radical de dos circunferencias.

Definición de potencia

La primera definición de potencia se basa en determinar la máxima y mínima distancia a una circunferencia y obtener su producto métrico.

La potencia W de un punto P respecto de una circunferencia c es el producto de la mayor por la menor distancia del punto P a la circunferencia c.

[caption id="attachment_13662" align="aligncenter" width="321" caption="Potencia de un punto respecto de una circunferencia"][/caption]

En la figura vemos que la potencia del punto P respecto de la circunferencia es el producto de los segmentos "m" y "n", mínima y máxima distancia desde el punto a la circunferencia. Estos segmentos se encuentran en el diámetro de la circunferencia que contiene al punto P.

Relaciones métricas de la Potencia

Podemos relacionar métricamente el concepto básico de potencia respecto de una circunferencia, mediante el teorema de pitágoras, con el segmento de tangencia que se obtiene desde el punto a la circunferencia.

La Potencia de un punto P respecto de una circunferencia es igual a la diferencia de cuadrados entre la distancia del punto P al centro C de la circunferencia y el radio R de la misma; también al cuadrado del segmento PT de tangente si P es exterior.

 Si tenemos en cuenta que el segmento "m" es igual a la distancia "d" del punto "P" al centro "C" de la circunferencia "c", menos el radio "R" de la misma (d-R), y que el segmento "n" es la suma de "d" y "R" (d+R) tendremos que:

Como la suma de dos variables multiplicada por la diferencia es la diferencia de sus cuadrados, vemos que la potencia "W" es igual a la diferencia de los cuadrados de la distancia "d" y del radio "R" de la circunferencia. Esta expresión nos recuerda al cateto de un triángulo rectángulo, cuyo cuadrado es igual a la diferencia de cuadrados de la hipotenusa y del otro cateto (lado l).

Si el punto P es interior a la circunferencia no existirá el segmento de tangencia, pero podemos establecer igualmente la relación con los lados de un triángulo pitagórico.

La Potencia de un punto P respecto de una circunferencia es igual a la diferencia de cuadrados de la distancia del punto P al centro C de la circunferencia y el radio R de la misma y también al cuadrado del segmento  de semicuerda PT perpendicular a PC si P es interior.

Potencia de un punto (Wikipedia)

 Geometría métrica