Geometría métrica : Haz hiperbólico de circunferencias

Al definir un haz de circunferencias como un conjunto simplemente infinito que cumplían una restricción basada en la potencia, clasificábamos los haces en función de la posición relativa de sus elementos.

Los haces de circunferencias hiperbólicos se encuentran entre estas familias de circunferencias. De los tres tipos existentes (elípticos, parabólicos e hiperbólicos) son los que ofrecen mayor dificultad en su conceptualización al no venir definidos por puntos de paso. Veremos cómo determinar elementos que les pertenecen tal y como realizamos en los casos anteriores.

Dadas dos circunferencias no secantes entre sí, el eje radical “e” de las circunferencias es el lugar geométrico de puntos del plano que tienen igual potencia respecto de ambas circunferencias. Esta recta es perpendicular a la que contiene los centros de las circunferencias, y contiene a los centros de las circunferencias ortogonales (perpendiculares) a las del haz.

Dadas dos circunferencias no secantes, podemos determinar una circunferencia ortogonal a ambas con centro el punto O de intersección entre su eje radical e y la recta base b que contiene a ambos centros. El punto O se conoce con el nombre de centro del haz.

Para ello determinaremos la tangente desde O (centro del haz) a cualquiera de las circunferencias. Esta circunferencia es ortogonal a ambas por tener el radio igual a la raiz de la potencia desde O, y corta en dos puntos L1 y L2 a la recta base, denominados puntos límites, que son a su vez circunferencias del haz.

Las infinitas circunferencias de un haz de circunferencias hiperbólico son ortogonales a la que tiene su centro en el del haz, O, y radio la potencia desde este punto a cualquiera de las circunferencias. Los puntos límites son circunferencias del haz de radio nulo.

El eje radical de cualquier pareja de circunferencias de este haz es la recta e.

Todos los centros de las circunferencias del haz se encuentran en una recta, b, denominada recta base del haz.

Determinar una circunferencia del haz hiperbólico que pasa por un punto P

De las infinitas circunferencias de una haz elíptico, sólo una pasa por un punto dado. Veamos cómo determinar el centro de una circunferencia del haz que pase por un punto P cualquiera.

 

La circunferencia buscada tendrá su centro O1 en la recta base, b, y será ortogonal a cualquier circunferencia que pase por los puntos límites.

La solución, su centro, se determina por lo tanto mediante la intersección de dos lugares geométricos, la recta base y el eje radical del punto de paso y una circunferencia ortogonal al haz (cualquiera de las que pasa por los puntos límites).

Determinar las circunferencias del haz hiperbólico que son tangentes a una recta dada

La condición de tangencia viene determinada por una recta t cualquiera que no coincida ni con la recta base b ni con el eje radical e. El haz puede quedar definido por sus puntos límites L1 y L2 o por dos de las circunferencias que le pertenecen.

Para resolver el problema buscaremos un punto Cr, del eje radical e, que tenga igual potencia respecto de las circunferencias del haz, y que pertenezca, a su vez, a la recta t ya que ésta última es el eje radical de las circunferencias que le son tangentes. Vemos pues, que Cr es el centro radical de la recta t (circunferencia de radio infinito) y las circunferencias del haz parabólico.

Como se aprecia en la figura, la potencia de Cr respecto de todas las circunferencias del haz la podemos determinar encontrando la tangente (al cuadrado) a cualquier circunferencia del haz (en este caso lla distancia a los puntos límites). Esta distancia es la que habrá también a los puntos de tangencia de las soluciones buscadas. Tenemos dos soluciones ya que podemos llevar esta distancia Cr-L1 a ambos lados de Cr sobre la recta t.

Determinar las circunferencias del haz hiperbólio que son tangentes a una circunferencia dada

La generalización del problema la tenemos cuando la condición de tangencia es respecto de una circunferencia t cualquiera.

En este caso, de nuevo, determinaremos un punto Cr que tenga igual potencia respecto de la circunferencia que marca la condición de tangencia y cualquiera de las del haz hiperbólico (por ejemplo los puntos límites), por lo que debe encontrarse en su eje radical.

Las soluciones pasarán por los puntos T1 y T2 situados sobre las tangentes trazadas desde Cr, ya que se encuentran a distancia la raíz de la potencia que hemos calculado como en el caso anterior.

Los centros de las soluciones se encontraran alineados con el centro de la circunferencia t y los correspondientes puntos de contacto.

Haz conjugado

Por último, podemos ver en la figura siguiente el haz conjugado (ortogonal) de un haz hiperbólico, que, como analizaremos posteriormente, es otro elíptico de recta base el eje radical del anterior. Vemos que los puntos límites del haz hiperbólico coinciden con los puntos fundamentales del elíptico.

Geometría métrica

Geometría métrica : Haz elíptico de circunferencias

Al definir un haz de circunferencias como un conjunto simplemente infinito que cumplían una restricción basada en la potencia, clasificábamos los haces en función de la posición relativa de sus elementos.

Los haces de circunferencias elípticos se encuentran entre estas familias de circunferencias. Veremos cómo determinar elementos que les pertenecen.

Dadas dos circunferencias secantes en un par de puntos, el eje radical “e” de las circunferencias coincide con la cuerda común a ambas circunferencias. Esta recta es perpendicular a la que contiene los centros de las circunferencias.

Las infinitas circunferencias que pasan por un par de puntos, determinan un haz de circunferencias elíptico. Los puntos comunes a todas ellas se denominan puntos fundamentales del haz

El eje radical de cualquier pareja de circunferencias de este haz es la recta e.

Todos los centros de las circunferencias del haz se encuentran en una recta, b, denominada recta base del haz.

Determinar una circunferencia del haz elíptico que pasa por un punto P

De las infinitas circunferencias de una haz elíptico, sólo una pasa por un punto dado. Veamos cómo determinar el centro de una circunferencia del haz que pase por un punto P cualquiera.

La circunferencia buscada tendrá su centro O1 en la recta base, b, y pasará por los puntos fundamentales A y B, así como por P, por lo que también lo tendrá en la mediatriz de estos puntos.

La solución, su centro, se determina por lo tanto mediante la intersección de dos lugares geométricos, la recta base y la mediatriz del segmento AP que contiene a dos puntos de paso.

Determinar las circunferencias del haz elíptico que son tangentes a una recta dada

La condición de tangencia viene determinada por una recta t cualquiera que no coincida ni con la recta base b ni con el eje radical e. El haz puede quedar definido por sus puntos fundamentales A y B por los que pasan todas las circunferencias que le pertenecen.

Para resolver el problema buscaremos un punto Cr, del eje radical e, que tenga igual potencia respecto de las circunferencias del haz, y que pertenezca, a su vez, a la recta t ya que ésta última es el eje radical de las circunferencias que le son tangentes. Vemos pues, que Cr es el centro radical de la recta t (circunferencia de radio infinito) y las circunferencias del haz parabólico.

Como se aprecia en la figura, la potencia de Cr respecto de todas las circunferencias del haz la podemos determinar encontrando la tangente (al cuadrado) a cualquier circunferencia del haz (en este caso la de diámetro AB). Esta distancia es la que habrá también a los puntos de tangencia de las soluciones buscadas. Tenemos dos soluciones ya que podemos llevar esta distancia Cr-O a ambos lados de Cr sobre la recta t.

Determinar las circunferencias del haz elíptico que son tangentes a una circunferencia dada

La generalización del problema la tenemos cuando la condición de tangencia es respecto de una circunferencia t cualquiera.

En este caso, de nuevo, determinaremos un punto Cr que tenga igual potencia respecto de la circunferencia que marca la condición de tangencia y cualquiera de las del haz elíptico, por lo que debe encontrarse en su eje radical.

Las soluciones pasarán por los puntos T1 y T2 situados sobre las tangentes trazadas desde Cr, ya que se encuentran a distancia la raíz de la potencia que hemos calculado como en el caso anterior.

Los centros de las soluciones se encontraran alineados con el centro de la circunferencia t y los correspondientes puntos de contacto.

Haz conjugado

Por último, podemos ver en la figura siguiente el haz conjugado (ortogonal) de un haz elíptico, que, como analizaremos posteriormente, es otro hiperbólico de recta base el eje radical del anterior.

Geometría métrica

Geometría métrica : Haz parabólico de circunferencias

Al definir un haz de circunferencias como un conjunto simplemente infinito que cumplían una restricción basada en la potencia, clasíficábamos los haces en función de la posición relativa de sus elementos.

Los haces de circunferencias parabólicos se encuentran entre estas familias de circunferencias. Veremos cómo determinar elementos que les pertenecen.

Dadas dos circunferencias tangentes en un punto O, el eje radical "e" de las circunferencias coincide con la recta tangente común a ambas circunferencias. Esta recta es perpendicular a la que contiene los centros de las circunferencias.

Las infinitas circunferencias tangentes a dos circunferencias tangentes entre sí  en un punto O, determinan un haz de circunferencias parabólico. El punto O se denomina centro del haz.

El eje radical de cualquier pareja de circunferencias de este haz es la recta e.

Todos los centros de las circunferencias del haz se encuentran en una recta, b, denominada recta base del haz.

Determinar una circunferencia del haz parabólico que pasa por un punto P

De las infinitas circunferencias de una haz parabólico, sólo una pasa por un punto dado que no sea el centro O del haz. Veamos cómo determinar el centro de una circunferencia del haz que pase por un punto P cualquiera.

La circunferencia buscada tendrá su centro O1 en la recta base, b, y pasará por los puntos P y O, por lo que también lo tendrá en la mediatriz de estos puntos.

La solución, su centro, se determina por lo tanto mediante la intersección de dos lugares geométricos, la recta base y la mediatriz del segmento PO que contiene a dos puntos de paso.

Determinar las circunferencias del haz parabólico que son tangentes a una recta dada

La condición de tangencia viene determinada por una recta t cualquiera que no coincida ni con la recta base b ni con el eje radical e.

Para resolver el problema buscaremos un punto Cr, del eje radical e, que tenga igual potencia respecto de las circunferencias del haz, y que pertenezca, a su vez, a la recta t ya que ésta última es el eje radical de las circunferencias que le son tangentes. Vemos pues, que Cr es el centro radical de la recta t (circunferencia de radio infinito) y las circunferencias del haz parabólico.

Como se aprecia en la figura, la potencia de Cr respecto de todas las circunferencias del haz la podemos determinar encontrando la distancia (al cuadrado) al centro O del haz. Esta distancia es la que habrá también a los puntos de tangencia de las soluciones buscadas. Tenemos dos soluciones ya que podemos llevar esta distancia Cr-O a ambos lados de Cr sobre la recta t.

Determinar las circunferencias del haz parabólico que son tangentes a una circunferencia dada

La generalización del problema la tenemos cuando la condición de tangencia es respecto de una circunferencia t cualquiera.

En este caso, de nuevo, determinaremos un punto Cr que tenga igual potencia respecto de la circunferencia que marca la condición de tangencia y cualquiera de las del haz parabólico, por lo que debe encontrarse en su eje radical.

Las soluciones pasarán por los puntos T1 y T2 situados sobre las tangentes trazadas desde Cr, ya que se encuentran a distancia la raíz de la potencia que hemos calculado como en el caso anterior.

Los centros de las soluciones se encontraran alineados con el centro de la circunferencia t y los correspondientes puntos de contacto.

Haz conjugado

Por último, podemos ver en la figura siguiente el haz conjugado (ortogonal) de un haz parabólico, que puede deducirse que es otro parabólico de recta base el eje radical del anterior.

 Geometría métrica

Geometría métrica : Problema de apolonio : rcc

Cualquiera de los problemas de tangencias que se engloban bajo la denominación de "problemas de Apolonio" puede ser reducido a una de las variantes estudiadas del más básico de todos ellos: el problema fundamental de tangencias (PFT).

En todos estos problemas nos plantearemos como objetivo fundamental reducir el problema que se proponga a uno de estos casos fundamentales, mediante el cambio de las restricciones que lo definen a otras basadas en conceptos de ortogonalidad.

En este caso vamos a estudiar el que denominamos "Caso de Apolonio rcc", es decir, el caso del problema de tangencias en el que los datos vienen dados mediante condiciones de tangencias a una recta (r) y dos circunferencias (cc).

Podemos enuncia por lo tanto el problema de la siguiente manera:

Determinar las circunferencias que son tangentes a una recta y a dos circunferencias

[caption id="attachment_17478" align="aligncenter" width="449"] Una de las cuatro posibles soluciones al problema[/caption]

El problema tiene hasta cuatro posibles soluciones, aspecto que deberá ser analizado con detalle para obtener aquella que cumpla con las condiciones del diseño que correspondan en cada caso.

Supongamos que los datos del problema vienen determinados por las circunferencias C1 y C2 de centros O1 y O2, y la recta r, tal y como se representa en la figura anterior.

Al estudiar la inversión en el plano vimos que se podían transformar rectas en circunferencias tomando centros de inversión en puntos de la circunferencia.

El radio de la circunferencia de autoinversión (IT) lo obtenemos a partir de la potencia de inversión IP*IP' = IQ*IQ' = IT*IT' aplicando las construcciones, por ejemplo, que hemos visto en el teorema del cateto.

Supongamos que la circunferencia "c" es una de las soluciones buscadas, tangente a la circunferencia c1. Si invertimos c1 y c con centro uno de los puntos de c1 (el I1), las circunferencias inversas seguiran siendo tangentes ya que la transformación es conforme. La circunferencia c1 se convertirá en una recta ya que I1 está sobre c1.

Si elegimos la potencia de forma que c sea doble, c=c', la recta transformada de c1 será tangente a c, y la circunferencia c=c' será ortogonal a la circunferencia de autoinversión.

Este análisis es el que nos permite obtener restricciones de ortogonalidad para ser utilizadas en nuestro problema, considerando las inversiones de potencia positiva que se dan entre las circunferencias y la recta.

En nuestro caso los centros I1 e I2 pueden considerarse centros de inversión que transforman las circunferencias c1 y c2 en la recta r.

En cada una de estas transformaciones, las circunferencias que buscamos, las soluciones, serán circunferencias dobles y por lo tanto deberán ser ortogonales a la de autoinversión.

El problema puede ser enunciado a partir de las nuevas circunferencias de autoinversión, ya que deben ser ortogonales a ellas:

Determinar las circunferencias ortogonales a dos y tangentes a una recta (o circunferencia)

Este nuevo enunciado es un caso del problema fundamental de tangencias, ya que las circunferencias ortogonales a dos dadas pertenecen al haz conjugado del que determinan. En este caso, el haz conjugado quedará determinado por los puntos límites L1 y L2 situados sobre su recta base.

La solución quedará determinada resolviendo este último problema:

Determinar las circunferencias de un haz que son tangentes a una recta (circunferencia).

Geometría métrica

Fundamentos del Sistema Diédrico

Hemos visto al presentar los Sistemas de Representación que la geometría descriptiva es el conjunto de técnicas de carácter geométrico que permite representar el espacio tridimensional sobre una superficie bidimensional.

En particular veremos con detalle el denominado "Sistema diédrico" (ver la clasificación de los sistemas de representación) que se basa en las relaciones perspectivas que aparecen en la proyección cilíndrica ortogonal sobre dos planos de proyección.

Proyección ortogonal

Para entender en profundidad el modelo basado en la proyección cilíndrica ortogonal repasaremos previamente algunos teoremas espaciales que nos facilitaran el análisis.

Una recta es perpendicular a un plano si lo es a dos rectas no paralelas contenidas en dicho plano.

La proyección de un punto (P) del espacio sobre un determinado plano de proyección se obtiene determinando la recta "r" que contiene al punto y es perpendicular a dicho  plano, por lo tanto perpendicular a dos rectas cualesquiera "a" y "b" que no sean paralelas de dicho plano.

La proyección P' será la intersección de la recta r con el plano.

Otro teorema espacial que será de gran utilidad es el siguiente:

Si una recta es perpendicular a un plano, todos los planos que la contengan también son ortogonales a dicho plano.

Si la recta r es perpendicular al plano, los planos que determina con las rectas que pasan por P' (a, b, etc) son planos ortogonales al primero.

Podemos pensar que la recta r es la línea de bisagras de una puerta y los planos las infinitas posiciones que ocupa al girar sobre su eje.

Por último necesitaremos establecer una relación entre tres planos ortogonales entre si:

Si un plano es perpendicular a otros dos planos, lo es a la recta intersección de estos.

La recta intersección de los dos planos, i, es la dirección común a ambos planos. Los tres planos se cortarán en un punto I.

Si proyectamos ortogonalmente el punto (P) sobre los planos H y V, las rectas (P)-P' y (P)-P'' serán ortogonales a ellos respectivamente.

El plano que contenga a (P)-P' será ortogonal al plano H y de forma análoga, el plano que contenga a la recta (P)-P'' lo será a V. Por lo tanto, si consideramos el plano formado por los puntos (P)-P'-P'' y el punto I, este será perpendicular a V y H y por lo tanto a su dirección común, recta i.

Esta última propiedad nos permitirá establecer la relación perspectiva que existe entre dos proyecciones vinculadas.

Sistema diédrico

Si abatimos el plano horizontal de proyección sobre el plano vertical ( o al revés), podremos ver las dos proyecciones sobre un mismo plano.

Al abatir el plano horizontal H sobre el vertical V obtendremos dos proyecciones ortogonales sobre un mismo plano que haremos coincidir con el del dibujo.

Este modelo de representación se conoce con el nombre de "Sistema diédrico" ya que necesitaremos las proyecciones sobre dos planos ortogonales, al menos, para determinar inequívocamente las posiciones en el espacio de los puntos representados.

El proceso de "restitución" espacial debe permitir saber cómo se encuentran localizados en el espacio los elementos geométricos representados en este sistema.

Podemos observar que al abatir el plano horizontal sobre el vertical, las proyecciones P' y P'' quedan alineadas en una recta que es perpendicular a la intersección i de ambos planos. Esta línea se denomina "Línea de referencia" entre las proyecciones de los puntos. A la recta i se la conoce con el nombre de "Línea de tierra"

Las líneas de referencia entre dos proyecciones son ortogonales a la correspondiente línea de tierra.

Veremos que podemos prescindir de la línea de tierra cuando desarrollemos el sistema. De momento nos sirve para entender la esencia del mismo.

Podemos etiquetar de diferente forma a las proyecciones sobre los planos. Algunas biografías utilizan subíndices, otras tildes o números romanos.

Normalmente la proyección sobre el plano horizontal se conocerá como "la primera" proyección, sobre el vertical será "la segunda" y sobre un tercer plano ortogonal a los anteriores, denominado plano de perfil, tendremos "la tercera" proyección.

Siguiente lección ... Proyección de la recta

[caption id="attachment_13573" align="aligncenter" width="400"] Sistemas_de_representacion[/caption]

El problema de los dos pueblos y el puente

Uno de los primeros problemas de geometría métrica que propongo a mis alumnos sirve para iniciar el modelo geométrico de análisis a la vez que repasamos las transformaciones básicas estudiadas en etapas anteriores.

El problema se plantea como un caso real de estudio, aderezado con una historia que varía según se profundiza en el análisis, y de forma jocosa lo denomino "El puente sobre el río Guay", o el "problema de los dos pueblos y el puente".

La idealización del caso de estudio es sencilla y, como veremos, es una curiosa introducción a la teoría de resolución de problemas mediante geometría aplicada.

Dos pueblos tienen que construir un puente que cruce un río y permita a sus ciudadanos pasar de uno a otro. Como tienen que pagarlo entre ambos, quisieran que su situación "equidistara" de ambos pueblos.

Tenemos que encontrar por lo tanto una posición en el río cuya distancia "d" a los dos pueblos sea la misma.

[caption id="attachment_16953" align="aligncenter" width="334"] El problema del puente para unir dos pueblos[/caption]

El primer paso es buscar un modelo geométrico sencillo que idealice el problema, expresado en términos básicos de la geometría, es decir, puntos y rectas. Cada objeto puede ser representado mediante la figura geométrica que más se aproxime a su forma o, en un nivel de abstracción mayor, por cualquier elemento geométrico que nos interese por una u otra propiedad.

Podemos suponer que los pueblos se idealizan como puntos (representados como círculos) y el río como una curva o línea recta.

[caption id="attachment_16954" align="aligncenter" width="303"] Idealización del problema[/caption]

Geométricamente la solución es sencilla. El puente, representado por el punto "P" se encuentra a igual distancia de los dos pueblos, puntos "A" y "B", luego debe estar en la mediatriz "m" del segmento "AB"

[caption id="attachment_16956" align="aligncenter" width="281"] Solución básica del problema[/caption]

La solución propuesta se basa en suponer que el puente es un punto (en la idealización que hemos realizado) ya que el río lo hemos reducido a una línea sin espesor. El análisis interesante del problema empieza cuando suponemos que el río tiene un cierto espesor y, en consecuencia, la distancia que debemos medir es desde cada punto a la posición del puente situado en la orilla más próxima a cada pueblo.

[caption id="attachment_16960" align="aligncenter" width="274"] Puente sobre un río ancho[/caption]

El modelo anterior ya no es válido, ni aunque consideremos la línea media del río. ¿En qué ha cambiado el problema? Interesaría describir este cambio en términos geométricos. ¿Podemos adaptar la solución anterior con alguna modificación?

En este punto del análisis suelo terminar el problema. Dejo las preguntas en el aire para que mis alumnos lo piensen y traten de encontrar la solución por ellos mismos. Os dejaré la misma incógnita en el aire ... dentro de unos días publicaré la solución en este enlace:

• Solución al problema de los dos pueblos y el puente

Las rectas paralelas se cortan en el infinito, ¿mito o realidad?

Uno de los conceptos que más cuesta asimilar en las primeras clases de geometría proyectiva es el de punto impropio. Un punto impropio es un punto que se encuentra en el infinito y que podemos traducir o interpretar como una dirección.

Mientras en la geometría métrica dos rectas se cortan o son paralelas, en la geometría proyectiva siempre se cortan en un punto propio o impropio, lo que no cambia en ningún caso la operatividad con este modelo geometrico-matemático.

Mis alumnos han querido destacar este aspecto en sus trabajos y, en la experiencia de innovación educativa en la que desarrollamos en blogs la asignatura, nos ofrecieron este curioso artículo. El grupo "Proyectando-ando" hizo gala a su nombre:

Las rectas paralelas se cortan en el infinito, ¿mito o realidad?

Siempre hemos escuchado que dos rectas paralelas son aquellas que por mucho que se prolonguen nunca llegan a cortarse, pero también conocemos el concepto de que dos rectas paralelas se cortan en el infinito. ¿Cual de estas dos afirmaciones es verdadera? A continuación intentaremos dar respuesta al dilema ante el que nos encontramos.

[caption id="attachment_16692" align="aligncenter" width="320"] ¿ Rectas paralelas ?[/caption]

Euclides fue un matemático y geómetra griego, que vivió alrededor del 300 a.C. Se le conoce como "El Padre de la Geometría" y fue el creador de la geometría que lleva su propio nombre.

La geometría euclidiana es aquella que estudia las propiedades del plano y el espacio tridimensional. La presentación de ésta se hace mediante un sistema de axiomas que, a partir de un cierto número de postulados que se presumen verdaderos y a través de operaciones lógicas, genera nuevos postulados cuyo valor de verdad es también positivo. Euclides planteó cinco postulados en su sistema:

1.  Dados dos puntos se puede trazar una y sólo una recta que los une.


2. Cualquier segmento puede prolongarse de forma continua en cualquier sentido.


3. Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio.


4. Todos los ángulos rectos son iguales.


5. Si una recta, al cortar a otras dos, forma ángulos internos menores a un ángulo recto, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

Este último postulado, que es conocido como el postulado de las paralelas, fue reformulado como:

5. Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta dada.

Euclides asumió que todos sus postulados o axiomas eran auto-evidentes y por tanto hechos que no requerían demostración. Sin embargo, el quinto postulado resultó que si bien es compatible con los otro cuatro, es en cierto modo independiente. Es decir, tanto el quinto postulado como la negación del quinto postulado, son compatibles con los otros cuatro postulados. Las geometrías donde el quinto postulado no es válido se llaman geometrías no-euclidianas.

En el Renacimiento las nuevas necesidades de representación del arte y de la técnica empujan a ciertos humanistas a estudiar propiedades geométricas. Al descubrir la perspectiva y la sección, crean la necesidad de sentar las bases formales en la que cimentar las nuevas formas de geometría que ésta implica: la Geometría proyectiva, cuyos principios fundamentales aparecen en el siglo XVII:

•  Dos puntos definen una recta.


• Todo par de rectas se cortan en un punto (cuando dos rectas son paralelas decimos que se cortan en un punto del infinito conocido como punto impropio).

A través de estos dos principios podemos obtener la respuesta a nuestra pregunta. La diferencia que encontramos está en el quinto postulado de Euclides (de las paralelas); que dice: “por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta dada”. Este axioma, en proyectiva acabamos de ver que no existe, de modo que no existen las "paralelas"; todas las rectas son secantes, es decir, se cortan en un punto. Por lo tanto, aparece el concepto de punto impropio (marcado con el subíndice infinito; ya que no lo representamos en un lugar concreto como los demás puntos); que vendría a determinar la "dirección" de la recta. Todas las rectas que -euclideanamente- serían "paralelas", proyectivamente se cortan en un mismo punto impropio y a su vez todos los puntos impropios de un plano determinan una recta impropia, única en ese plano.

A pesar de que lo acabamos de enunciar, a modo de conclusión la respuesta a nuestra pregunta de si las rectas paralelas se cortan en el infinito es la siguiente: LAS RECTAS PARALELAS DESDE EL PUNTO DE VISTA DE LA GEOMETRÍA PROYECTIVA SE CORTAN EN EL INFINITO, PERO BASANDONOS EN LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA LAS RECTAN NO LLEGAN A CORTARSE NUNCA.

 

Geometría Proyectiva