Geometría métrica : Obtención del Eje radical de dos circunferencias

El eje radical de dos circunferencias es ellugar geométrico de los puntos de un plano que tienen igual potencia respecto de dos circunferencias.

Es una recta que tiene dirección perpendicular a la línea de centros de las circunferencias. Para determinar dicho eje será necesario por lo tanto conocer un único punto de paso.

Veremos cómo determinar el eje radical de dos circunferencias en los diferentes casos que podemos encontrarnos, que analizaremos en función de las posiciones relativas de las dos circunferencias.

Circunferencias secantes

Si las circunferencias son secantes conoceremos dos puntos de potencia nula, los de intersección de ambas circunferencias.

En este caso el eje radical lo obtendremos mediante la secante común a dichas circunferencias

Circunferencias tangentes

Al igual que en el caso anterior, existe un punto de potencia nula que se corresponde con el de tangencia de las dos circunferencias.

 

El eje radical pasará por este punto y tendrá la dirección perpendicular a la línea de centros y por lo tanto coincidirá con la recta tangente común a ambas circunferencias.

Circunferencias que no se cortan

Como conocemos la dirección del eje, quedará determinado en cuanto obtengamos un punto de paso.

Este punto lo determinaremos mediante el uso de una circunferencia auxiliar que corte a las dos circunferencias, que nos permitirá obtener el centro radical de las tres (punto de igual potencia)

Como caso particular de interés, podemos ver el caso en que las circunferencias sean de gran radio.

En este caso se calcula como en el anterior, por medio de una circunferencia auxiliar (en línea discontinua en la figura) que determina un punto "O" de igual potencia respecto de las dos circunferencias, ya que:

OA * OA' = OB*OB'

Este punto junto con el de intersección de las dos circunferencias, si lo hubiera, determinaría el eje. En otro caso, podríamos repetir esta construcción para determinar un segundo punto de paso.

También puede ser interesante generalizar estos conceptos en el caso de circunferencias de radio nulo (puntos) o infinito (rectas) y en otras posiciones particulares:

• ¿Eje radical de dos circunferencias concéntricas?


• ¿Eje radical de punto y circunferencia?


• ¿Eje radical de punto y recta?


• ¿Eje radical de dos puntos?

Geometría Métrica

Geometría métrica: Circunferencias con condiciones angulares. Problema I

Los problemas geométricos se pueden abordar con diferentes estrategias para simplificar su análisis y resolución. Normalmente podemos encajarlos en familias estructuradas de problemas además de encontrar soluciones específicas que se adapten a cada problema en particular.

Veamos un problema básico de geometría "vestido" o "adaptado" a una aplicación tecnológica, en particular supongamos que para la definición de una pieza necesitamos unas condiciones geométricas dadas por restricciones angulares.

Enunciado del problema

Completar el diseño de la pieza representada en el croquis sabiendo que la circunferencia c es tangente a c1, pasa por el punto P y corta con un ángulo de 45º a la recta r.

[caption id="attachment_15122" align="aligncenter" width="366"] Croquis para el enunciado gráfico del problema geométrico[/caption]

Datos del problema

Para resolver el problema se nos facilitarán parte de los datos de forma gráfica. Así, en este caso, tendríamos:

[caption id="attachment_15123" align="aligncenter" width="493"] Enunciado problema geométrico[/caption]

Las circunferencias concéntricas con c1 no son relevantes y podemos prescindir de ellas.

Del análisis del enunciado y de los datos gráficos vemos que debemos completar la figura determinando una circunferencia que cumple tres restricciones geométricas:

• Pasa (o pertenece) por el punto P


• Forma un ángulo (45) con la recta r


• Es tangente a la circunferencia c1.

Vemos que la circunferencia que debemos determinar se encuentra restringida por un número de condiciones idéntico al número de datos necesarios para su definición (dos del centro y uno del radio), y que ademas estos datos no son redundantes (combinación lineal) y por tanto son independientes entre sí, por lo que esta circunferencia se encuentra paramétricamente determinada o, lo que es lo mismo, el problema está correctamente propuesto.

Se deja al lector un primer análisis del problema.

Se sugiere tratar de convertir las condiciones angulares en condiciones de isogonalidad (igual ángulo) en particular de tangencias para tratar de reducir el problema al que hemos denominado "Problema Fundamental de Tangencias".

Puedes consultar la solución aquí

Geometría métrica: Nociones sobre ángulos

Los elementos geométricos en el plano que se cortan, rectas y circunferencias, pueden caracterizar su intersección mediante un valor denominado ángulo.

La noción de ángulo entre dos rectas es la más elemental entre las que se dan entre rectas y circunferencias, y sirve de referencia para definir el ángulo entre recta y circunferencia o el que forman dos circunferencias coplanarias.

Para definir un ángulo debemos recordar que una recta r divide a un plano en dos semiplanos.

[caption id="attachment_13927" align="aligncenter" width="237" caption="La recta r divide al plano en dos semiplanos"][/caption]

Una nueva recta s dividirá al plano en dos nuevos semiplanos, cuya intersección con los anteriores determinarán cuatro regiones de área infinita, pero iguales dos a dos.

[caption id="attachment_13928" align="aligncenter" width="264" caption="Intersección de semiplanos"][/caption]

Existen tres sistemas de medida de los ángulos:

• Radianes : Valores comprendidos entre 0 y dos veces el valor de PI


• Sexagesimal: Valores comprendidos entre cero y 360


• Centesimal: Valores comprendidos entre cero y 400

Ángulo entre dos rectas

El concepto de ángulo se usa para medir o caracterizar un área infinita, una porción del plano que a su vez es la intersección de dos semiplanos.

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice. Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal. (W)

Las primeras definiciones que se diero de estos conceptos se denominan definiciones clásicas:

Euclides define un ángulo como la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta. Según Proclo, un ángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado por Eudemo de Rodas, que describió un ángulo como desviación de una línea recta; el segundo por Carpo de Antioquía, que lo vio como el intervalo o el espacio entre las líneas que se intersecaban; Euclides adoptó un tercer concepto, aunque sus definiciones de ángulos rectos, agudos, y obtusos son cuantitativas. (W)

El valor del ángulo entre dos rectas siempre se da como el menor de los dos que determinan.

Ángulo entre recta y circunferencia

[caption id="attachment_13931" align="alignleft" width="150" caption="Ángulo entre recta y circunferencia"][/caption]

Para definir el ángulo que forman una recta y una circunferencia incidentes, determinaremos la tangente en el punto de intersección.

Reduciremos el problema al de dos rectas.

El ángulo que forman una recta y una circunferencia que se cortan, es el que forma la recta con la tangente a la circunferencia en uno de los puntos de intersección.

La recta puede cortar en dos puntos a la circunferencia; si realizamos el cálculo del ángulo en cualquiera de los puntos de intersección, el valor es el mismo.

Ángulo entre dos circunferencias

[caption id="attachment_13932" align="alignleft" width="181" caption="Ángulo entre dos circunferencias"][/caption]

Para definir el ángulo que forman dos circunferencia incidentes, determinaremos las tangentes en uno de los puntos de intersección.

Reduciremos el problema al de dos rectas.

El ángulo que forman dos circunferencias que se cortan, es el que forman sus tangentes en cualquiera de sus puntos de intersección.

Las circunferencias pueden cortarse en dos puntos; si realizamos el cálculo del ángulo en cualquiera de los puntos de intersección, el valor es el mismo.

Geometría métrica

Geometría métrica : Teoremas de la altura y del cateto

Junto con los conceptos de potencia, la geometría del triángulo rectángulo permite resolver la obtención de medias proporcionales mediante los teoremas denominados de la altura y del cateto.

Antes de enunciar y deducir estos teoremas, recordemos algunos conceptos básicos de proporcionalidad para entender qué es lo que podemos resolver con las construcciones derivadas de estos modelos geométricos.

Cuarto proporcional

Dada la relación matemática x/a =b/c llamamos cuarto proporcional al valor de x, es decir

x=a*b/c

Tercero proporcional

Dada la relación matemática x/a = a/b llamamos tercero proporcional al valor de x, es decir

x=a*a/b

Media proporcional

Dada la relación matemática x/a=b/x llamamos media proporcional al valor de x, es decir

x= raíz cuadrada de a*b

$latex x=sqrt[a*b]$

En los tres casos definidos, la relación puede provenir de modelos basados en la semejanza y por lo tanto de relaciones obtenidas aplicando el teorema de Thales.

Geometría del triángulo rectángulo

Podemos obtener un triángulo rectángulo utilizando como hipotenusa un diámetro de una circunferencia, y como vértice opuesto un punto de la misma, ya que determina un arco capaz de 90 grados sobre dicho diámetro.

Si obtenemos la altura h del triángulo desde el ángulo recto (vértice A) y determinamos su intersección H con la hipotenusa (pie de la altura) podemos determinar tres triángulos rectángulo semejantes:

• ABC


• HAC


• HBA

[caption id="attachment_13861" align="aligncenter" width="363" caption="Teoremas de la altura y del cateto"][/caption]

Aplicando Thales a estos tres triángulos podemos obtener las siguientes relaciones:

Teorema del cateto

El cateto de un triángulo rectángulo es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.

l*l=m*n

[caption id="attachment_13865" align="aligncenter" width="244" caption="Teorema del cateto"][/caption]

Teorema de la altura

La altura de un triángulo rectángulo medida sobre su hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos en que la divide.

l*l=m*n

[caption id="attachment_13867" align="aligncenter" width="257" caption="Teorema de la altura"][/caption]

Geometría métrica

Geometría métrica : Eje radical de dos circunferencias

Los lugares geométricos sirven para determinar la solución de problemas con restricciones geométricos.

Entre las condiciones más utilizadas se encuentran las de naturaleza angular y dentro de éstas las de ortogonalidad.

Dadas dos circunferencias coplanarias, el conjunto simplemente infinito de circunferencias que las cortan ortogonalmente se agrupan en un conjunto denominado haz de circunferencias corradicales; estas circunferencias tienen su centro en una recta denominada eje radical.

El eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos del plano

• que son centros de circunferencias ortogonales a dichas circunferencias


• que tienen igual potencia respecto a dichas circunferencias


• desde los cuales se pueden trazar segmentos tangentes de igual longitud a las circunferencias

Para determinar este lugar geométrico, eje radical, nos apoyaremos en una figura de análisis compuesta por dos circunferencias que son cortadas ortogonalmente por la buscada.

Vemos en los triángulos rectángulos que se cumple, aplicando pitágoras, las siguientes relaciones:



de donde podemos obtener



que como hemos visto al estudiar el lugar geométrico de la diferencia de cuadrados de distancias a dos puntos fijos, es una recta. Esta recta se denomina eje radical de las dos circunferencias.

Centro radical de tres circunferencias

Vemos que al imponer dos restricciones de ortogonalidad se determina un lugar geométrico para los centros de las soluciones que lo cumplen. Si introducimos una tercera condición obtendremos una solución única que podemos obtener mediante intersección de los lugares geométricos referidos.

El Centro radical CR de tres circunferencias coplanarias es un punto de su plano:

• es intersección de los tres ejes radicales de las circunferencias


• tiene igual potencia respecto a dichas circunferencias


• es centro de la circunferencia ortogonal a dichas circunferencias


• desde el  cual se pueden trazar segmentos tangentes de igual longitud a las tres circunferencias

El centro radical se puede obtener mediante la intersección de dos ejes radicales

[caption id="attachment_13726" align="aligncenter" width="475"] Centro radical de tres circunferencias[/caption]

Geometría Métrica

Lugar Geométrico de la Suma/Diferencia de cuadrados de distancias a dos puntos fijos

Los lugares geométricos permiten determinar puntos que satisfacen una determinada condición geométrica. Son de interés en la resolución de problemas en los que se imponen restricciones métricas o geométricas.

Algunos lugares geométricos son elementales y sirven para definir figuras geométricas conocidas, mientras que otros exigen elaborados procesos de determinación.

Así, por ejemplo, el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo es constante es una circunferencia de centro el punto referido y de radio la distancia dada.

Relaciones en el triángulo

La aplicación directa del teorema de Pitágoras nos permite obtener algunos lugares geométricos de alto interés en el desarrollo de teoremas avanzados de la geometría métrica.

En la figura se tiene el triángulo ABC y se han obtenido, sobre el lado "a", el punto medio "M" y el pie de la altura "H" al determinar su altura "h" desde el vértice "A". Esto permite determinar tres triángulos rectángulos (un ángulo recto) que podemos relacionar entre sí para obtener dos importantes lugares geométricos.

Los triángulos a los que nos referimos son:

• AHB


• AHC


• AHM

Como se aprecia en la figura, los tres triángulos comparten el lado "AH" como uno de sus catetos, y el otro cateto se encuentra en el lado "a", base, del triángulo; Son triángulos rectángulos ya que el lado "AH" es la altura del triángulo y en consecuencia es perpendicular a dicha base.

Aplicando el teorema de pitágoras, podemos obtener las tres relaciones siguientes:

sumando las dos primeras tendremos la suma de dos cuadrados

mientras que si restamos una a la otra tendremos la diferencia de dos cuadrados

Lugar Geométrico de los puntos cuya  diferencia de cuadrados de distancias a dos puntos fijos es constante.

Veamos cómo podemos utilizar las relaciones anteriores para determinar el lugar geométrico de los puntos del plano que cumplen que la diferencia de los cuadrados de su distancia a dos puntos fijos es constante. Este teorema que vamos a determinar se puede enunciar de la siguiente forma:

El lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de los cuadrados de las distancias a dos puntos fijos B y C es una cantidad constante k es una recta ortogonal a BC cuya distancia al punto medio de BC es d=K/2BC.

Supongamos que uno de los puntos del plano que cumple esa condición es el vértice "A" del triángulo ABC, y que los puntos fijos a los que nos referimos son "B" y "C".

De las relaciones anteriores podemos utilizar la que expresa la diferencia de cuadrados de distancias a los puntos "B" y "C", e imponer la condición de que esta relación permanezca constante.

Al ser fija la distancia entre los puntos "B" y "C", el valor del lado “a” es constante. Para que la igualdad que expresa la ecuación sea constante la distancia “MH” tiene que serlo también ya que "a" no varía y "2" es un número que tampoco cambia.

Vemos que el segmento “MH” es la proyección de la mediana "m" (recta que une un vértice con el punto medio "M" del lado opuesto) sobre el segmento “BC”

Esto implica que el punto "A" puede estar en cualquier posición del plano de forma  que la proyección de la mediana sobre “BC” permanezca constante; el punto “A” tiene que moverse por lo tanto sobre la recta “h”, por lo que el lugar geométrico buscado debe de ser esa recta.

Este lugar geométrico permitirá determinar el "eje radical" de dos circunferencias como se verá en el estudio de ortogonalidad.

Lugar Geométrico de los puntos cuya  suma de cuadrados de distancias a dos puntos fijos es constante.

De la expresión obtenida para la suma de cuadrados:



se deduce que, al ser "a" constante, para que la expresión lo sea, debe  de ser el valor "m" de la mediana también un valor fijo, con lo que se concluye que el lugar geométrico debe de ser una circunferencia de radio dicho valor de la mediana.

Geometría Métrica

Geometría métrica : Concepto de "Potencia de un punto respecto de una circunferencia"

El concepto de potencia de un punto respecto de una circunferencia permite relacionar las nociones estudiadas en los teorema de Thales y Pitágoras y es la puerta para el estudio de los problemas de tangencias y transformaciones como la inversión.

Usaremos los conceptos de arco capaz sobre un segmento en nuestras demostraciones, por lo que se sugiere su repaso.

Este concepto se basa en el producto de dos segmentos y, como veremos mas adelante, permite determinar algunos lugares geométricos de gran importancia como por ejemplo el eje radical de dos circunferencias.

Definición de potencia

La primera definición de potencia se basa en determinar la máxima y mínima distancia a una circunferencia y obtener su producto métrico.

La potencia W de un punto P respecto de una circunferencia c es el producto de la mayor por la menor distancia del punto P a la circunferencia c.

[caption id="attachment_13662" align="aligncenter" width="321" caption="Potencia de un punto respecto de una circunferencia"][/caption]

En la figura vemos que la potencia del punto P respecto de la circunferencia es el producto de los segmentos "m" y "n", mínima y máxima distancia desde el punto a la circunferencia. Estos segmentos se encuentran en el diámetro de la circunferencia que contiene al punto P.

Relaciones métricas de la Potencia

Podemos relacionar métricamente el concepto básico de potencia respecto de una circunferencia, mediante el teorema de pitágoras, con el segmento de tangencia que se obtiene desde el punto a la circunferencia.

La Potencia de un punto P respecto de una circunferencia es igual a la diferencia de cuadrados entre la distancia del punto P al centro C de la circunferencia y el radio R de la misma; también al cuadrado del segmento PT de tangente si P es exterior.

 Si tenemos en cuenta que el segmento "m" es igual a la distancia "d" del punto "P" al centro "C" de la circunferencia "c", menos el radio "R" de la misma (d-R), y que el segmento "n" es la suma de "d" y "R" (d+R) tendremos que:

Como la suma de dos variables multiplicada por la diferencia es la diferencia de sus cuadrados, vemos que la potencia "W" es igual a la diferencia de los cuadrados de la distancia "d" y del radio "R" de la circunferencia. Esta expresión nos recuerda al cateto de un triángulo rectángulo, cuyo cuadrado es igual a la diferencia de cuadrados de la hipotenusa y del otro cateto (lado l).

Si el punto P es interior a la circunferencia no existirá el segmento de tangencia, pero podemos establecer igualmente la relación con los lados de un triángulo pitagórico.

La Potencia de un punto P respecto de una circunferencia es igual a la diferencia de cuadrados de la distancia del punto P al centro C de la circunferencia y el radio R de la misma y también al cuadrado del segmento  de semicuerda PT perpendicular a PC si P es interior.

Potencia de un punto (Wikipedia)

 Geometría métrica

Geometría métrica : Arco capaz sobre un segmento

La relación entre el ángulo inscrito y el ángulo central en una circunferencia permite obtener un lugar geométrico de gran importancia por sus numerosas aplicaciones en la geometría métrica; este lugar geométrico se denomina arco capaz.

Los puntos de una circunferencia que son vértices de triángulos cuya base común es una cuerda de la circunferencia tienen la propiedad de tener asociado en ese vértice un mismo ángulo, que se corresponde con la mitad del ángulo central que abarca dicha base.

Esta propiedad permite enunciar la definición del lugar geométrico denominado Arco capaz sobre un segmento.

Arco capaz de un segmento AB visto bajo un ángulo α dado es el lugar geométrico de los puntos del plano desde los cuales se ve el segmento AB bajo el mismo ángulo α.

Construcción del arco capaz

El punto P observa al segmento AB (cuerda de la circunferencia) bajo un determinado ángulo (alfa). Al desplazarse sobre dicha circunferencia el ángulo permanece invariante.

Los segmentos PA y PB varian por tanto en longitud, pero no el ángulo que forman. Este concepto permite determinar una construcción elemental para, dado el segmento AB y el ángulo alfa, determinar el centro de la circunferencia descrita.

Si el punto P se desplaza hasta coincidir con el punto B, el segmento AP se convierte en el AB, y el segmento BP se convierte en la tangente a la circunferencia, por lo que la tangente en B forma alfa grados con el segmento AB.

La tangente y el radio que pasa por el punto de contacto son ortogonales

Para construir el arco capaz, o determinar la circunferencia, simplemente determinaremos su centro como intersección de la mediatriz de AB con la recta perpendicular a la tangente en B (que determinaremos previamente)

[caption id="attachment_13166" align="aligncenter" width="228" caption="Construcción del arco capaz"][/caption]

El arco capaz de 90 grados es una semicircunferencia.

Aplicaciones del arco capaz

Además de ser usado para resolver problemas de lugares geométricos, tiene especial utilidad como herramienta para demostrar teoremas clásicos de la geometría métrica.

Aplicación a construcciones geométricas

El arco capaz de mayor interés es el de 90 grados, es decir, el del ángulo recto. Este lugar geométrico es de gran uso en la resolución de problemas básicos de tangencias y posteriormente se usará en relaciones armónicas.
Como la tangente y el radio que pasa por el punto de contacto son ortogonales, podemos usar el arco capaz de 90 grados para determinar la tangente desde un punto a una circunferencia. Simplemente determinaremos un arco capaz (semicircunferencia) entre el punto desde el que queremos trazar la tangente y el centro C de la circunferencia a la que debe ser tangente la recta. El punto T de intersección será el punto de tangencia buscado.

[caption id="attachment_13169" align="aligncenter" width="328" caption="tangente a una circunferencia"][/caption]

Aplicación en demostraciones

Las demostraciones de teoremas en las que aparecen ángulos rectos son en las que el arco capaz de 90 grados tiene aplicación inmediata. Por ejemplo, un teorema clásico es:

El ortocentro de un triángulo es el incentro de su triángulo órtico.

El ortocentro es el punto de intersección de las alturas del triángulo ABC, rectas que pasan por un vértice y por el pie de la perpendicular al lado opuesto (H). Este punto se encuentra por tanto en la intersección de dos arcos capaces.

El triángulo órtico es el que pasa por los pies de las alturas, y su incentro es el punto de intersección de las bisectrices.

A partir de la figura se puede deducir el teorema anterior, simplemente demostrando que los ángulos marcados son iguales al estar en arcos capaces sobre un mismo segmento en las diferentes circunferencias que se muestran.

[caption id="attachment_13168" align="aligncenter" width="277" caption="Demostración de un teorema gráficamente"][/caption]

Ejercicios

1-.Determinar un punto P en el interior del triángulo dado, desde el cual se vean sus tres lados bajo el mismo ángulo.

[caption id="attachment_13171" align="aligncenter" width="285" caption="triangulo"][/caption]

2-.Dado un punto P y una recta r, situados a una distancia de 38mm, dibujar un ángulo de 45º con vértice en P que intercepte en r un segmento de 30mm.

3.- Construir un triángulo conocido un lado , su ángulo opuesto y una tercera condición.

Datos (Lado c, a, Ángulo A).

Incógnita (Construir triángulo ABC)

4.- Construir un triángulo rectángulo conocida la hipotenusa y una segunda condición

Datos (Hipotenusa a, ángulo C).

Incógnita (Construir triángulo rectángulo ABC)

Geometría métrica

Geometría métrica : Ángulos en la circunferencia : Central e inscrito

En geometría métrica hay dos conceptos de medida sobre los que se basa su modelo axiomático: medidas lineales y medidas angulares.

La medida lineal se apoya en el teorema de Pitágoras y la relación entre este tipo de medidas en el teorema de Thales.

La medida angular la expresamos a partir de relaciones sobre una circunferencia y junto a las anteriores permiten describir la magnitud de las figuras geométricas.

• Ángulo Central -. Es aquel que tiene su vértice en el centro en la circunferencia y tiene por medida el arco comprendido.


• Ángulo inscrito -. es aquel que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son cuerdas.

[caption id="attachment_12405" align="aligncenter" width="340" caption="Ángulos central e inscrito"][/caption]

Un ángulo inscrito mide la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco.

La suma de ángulos internos de un triángulo es igual a dos rectos, por lo que en el triángulo CBP, que es isósceles (dos ángulos iguales) se cumplirá la relación:

Por lo que tendremos que

Y como consecuencia deduciremos que el ángulo central es el doble que el inscrito

Es fácil generalizar este concepto para posiciones del punto P que no sean tan particulares, ya que podemos descomponer el ángulo en dos y aplicar el mismo razonamiento.

[caption id="attachment_12408" align="aligncenter" width="344" caption="Relacion entre los ángulos central e inscrito"][/caption]

Por ejemplo, si desplazamos el punto P a lo largo de la circunferencia, el ángulo central será la suma de los dos ángulos centrales en que se puede descomponer, siendo por tanto indiferente la posición del punto P.

[caption id="attachment_13153" align="aligncenter" width="449" caption="Angulo central e inscrito"][/caption]

Ejercicios

[caption id="attachment_13159" align="aligncenter" width="421" caption="Ejemplos angulos inscritos"][/caption]

Geometría métrica