Geometría métrica : Determinación de circunferencias de radio conocido con condiciones angulares

Los problemas de determinación de circunferencias con radio conocido que cumplen restricciones geométricas son ejercicios de naturaleza similar a los vistos para rectas.

Estos problemas se resuelven mediante la intersección de lugares geométricos.

En particular, si consideramos a la recta como circunferencia de radio infinito, estaremos por tanto en el caso estudiado de determinación de rectas con condiciones angulares.

Condición angular respecto de rectas

Iniciaremos el análisis con condiciones de tangencia (ángulo cero) para determinar el lugar geométrico de centros de circunferencias de radio conocido que son tangentes a una recta r. Posteriormente generalizaremos estos lugares geométricos para cualquier ángulo de incidencia.

Para determinar una circunferencia necesitaremos tres restricciones geométricas. En el problema propuesto tendremos como datos el radio de la circunferencia y la condición de tangencia, quedando un grado de libertad para definir dicha circunferencia.

Tendremos por tanto infinitas soluciones y, en consecuencia, un lugar geométrico para sus centros.

Supongamos que buscamos la que pasa por un punto T de tangencia concreto en la recta r. El centro O se encontrará en la perpendicular a r por el punto T, a distancia R (radio de la circunferencia). Si desplazamos el punto T a lo largo de r encontraremos los infinitos centros de las soluciones y, en consecuencia, el lugar geométrico de sus centros LG es una recta paralela a la anterior a distancia R.

[caption id="attachment_13963" align="aligncenter" width="456" caption="Lugar geométrico centros de circunferencias tangentes a recta"][/caption]

En realidad tendremos dos posibles lugares geométricos, ya que la distancia R que hemos tomado desde el punto de tangencia T se puede llevar en los dos sentidos sobre la dirección perpendicular.

[caption id="attachment_13967" align="aligncenter" width="473" caption="Centros de circunferencias de radio conocido tangentes a una recta"][/caption]

Si en lugar de considerar una restricción de tangencia usamos una condición angular, el problema no difiere mucho.

Determinaremos una solución (la que pasa por un punto P) y generalizaremos el lugar geométrico. Para ello, en el punto P buscaremos una recta t que forme con la recta r la condición angular. Esta recta t será la tangente a la circunferencia en el punto P y su centro se encontrará en la perpendicular a ella y a distancia R.

De nuevo nos encontramos con dos posibles rectas como lugares geométricos para los posibles centros de las soluciones.

[caption id="attachment_13968" align="aligncenter" width="524" caption="Centros de circunferencias incidentes según un ángulo dado con una recta"][/caption]

Condición angular respecto de circunferencias

Si la condición angular es respecto de una circunferencia, el procedimiento para la determinación del lugar geométrico de los centros es similar. Buscaremos una solución que pase por un punto de la circunferencia y determinaremos el lugar geométrico.

Si la condición es de tangencia, en un punto T cualquiera determinaremos la tangente t y el centro se encontrará a distancia R según la dirección perpendicular a dicha tangente. Vemos que en este caso los lugares geométricos son dos circunferencias concéntricas con que nos han dado como dato, c, con radios la suma o diferencia de radios del de c y el valor R.

[caption id="attachment_13971" align="aligncenter" width="460" caption="Centros de circunferencias de radio dado tangentes a una circunferencia"][/caption]

 Si la condición es un ángulo cualquiera deberemos determinar la tangente a c en un punto cualquiera P y obtener una recta que pase por dicho punto y forme el ángulo dado. Esta recta será la tangente a la solución que buscamos y su centro se encontrará en la perpendicular a distancia R.

[caption id="attachment_13972" align="aligncenter" width="443" caption="Circunferencia de radio dado que forma un ángulo con otra circunferencia"][/caption]

En la figura anterior sólo se ha determinado uno de los dos lugares geométricos. El otro lo obtendríamos trazando una recta con la condición angular en el otro sentido.

Notese que la condición de paso por un punto es lo mismo que considerar que la circunferencia dato tiene un radio nulo, de forma análoga a pensar que una condición respecto de una recta es suponer que el radio es de longitud infinita.

Aplicación a la resolución de problemas

Podemos resolver diferentes problemas en los que se conoce el radio de la circunferencia buscada mediante la intersección de los lugares geométricos que hemos visto. Necesitaremos imponer dos condiciones geométricas adicionales para completar el problema:

• Que pasan por dos puntos


• Que pasan por un punto y son tangentes a una recta


• Que pasan por un punto y son tangentes a una circunferencia


• Que pasan por un punto y forman un ángulo con una recta


• Que pasan por un punto y forman un ángulo con una circunferencia


• Que son tangentes a dos rectas


• Que son tangentes a dos circunferencias


• Que son tangentes a una recta y una circunferencia


• Que forman un ángulo con una recta y son tangentes a otra recta


• Que forman un ángulo con una circunferencia y son tangentes a otra recta


• Que forman un ángulo con una recta y otro con otra recta


• Que forman un ángulo con una circunferencia y otro con otra recta


• Que forman un ángulo con una circunferencia y otro con otra circunferencia

Intersección de lugares geométricos

Veamos por último un ejemplo de aplicación de los enunciados en los que apliquemos la intersección de estos lugares geométricos en su resolución.

Supongamos el siguiente problema:

Determinar las circunferencias de radio conocido que son tangentes a una recta y a una circunferencia

[caption id="attachment_13973" align="aligncenter" width="508" caption="Lugares geométricos. Enunciado del problema"][/caption]

Con la condición de tangencia y el radio dado obtendríamos los lugares geométricos correspondientes.

[caption id="attachment_13974" align="aligncenter" width="490" caption="Obtenemos lo lugares geométricos"][/caption]

Determinamos los puntos de intersección de dichos lugares geométricos que serán los centros de las circunferencias buscadas

[caption id="attachment_13975" align="aligncenter" width="550" caption="Soluciones mediante la intersección de los lugares geométricos"][/caption]

Vemos que el número de soluciones depende del número de puntos de intersección, consecuencia de las posiciones relativas de los datos.

Geometría métrica

Geometría métrica : Determinación de rectas con condiciones angulares

La determinación de una recta en el plano exige dos restricciones geométricas; entre las condiciones más empleadas se encuentran las de paso o pertenencia a un punto y las de tipo angular (forma un determinado ángulo con otra recta o circunferencia).

Analizaremos las condiciones angulares respecto de una circunferencia dada para establecer un método de obtención de soluciones por reducción a problemas de tangencias, válido para una o dos condiciones angulares.

Supongamos el siguiente problema:

Dada una circunferencia c de centro O y radio dado, y un punto P exterior a la misma, determinar las rectas que pasan por dicho punto y forman un ángulo dado con la circunferencia.

[caption id="attachment_13941" align="aligncenter" width="233" caption="Punto y circunferencia datos del problema"][/caption]

En nuestro problema el ángulo es un dato del problema, por ejemplo 45º.

Hemos visto, al estudiar las nociones sobre ángulos, que el ángulo que forman una recta y una circunferencia es el que forma la recta con la tangente a la circunferencia en el punto de corte entre ambas.

Si el punto P estuviera sobre la circunferencia (T), la solución sería inmediata. Obtendríamos la tangente en T y a continuación, con el valor del ángulo, determinaríamos la dirección de la recta (r). El punto de corte de la recta con la circunferencia sería el propio punto P=T.

[caption id="attachment_13945" align="aligncenter" width="346" caption="Recta que forma un ángulo con una circunferencia"][/caption]

Si giramos la recta con centro el de la circunferencia (O), el ángulo entre la recta girada y la circunferencia no cambia. Las infinitas posiciones de esta recta, al girar, son tangentes a una circunferencia g concéntrica de la anterior c. Esta circunferencia (g) se denomina goniómetra.

[caption id="attachment_13947" align="aligncenter" width="369" caption="Circunferencia goniómetra g"][/caption]

Podemos cambiar la condición angular de la recta respecto de la circunferencia c, por una condición de tangencia a la circunferencia goniómetra g.

Para resolver por tanto el problema determinaremos primero la circunferencia goniómetra con la condición angular, y obtendremos las tangentes a la misma desde el punto P. Necesitaremos un arco capaz de 90º entre el centro O común a las circunferencias y el punto P, para determinar los puntos de tangencia en g.

[caption id="attachment_13948" align="aligncenter" width="376" caption="Rectas que pasan por un punto y forman un ángulo con una circunferencia"][/caption]

Los puntos I1 e I2 de tangencia a la goniómetra serán los puntos de paso de las soluciones buscadas.

La circunferencia goniómetra nos permite por tanto cambiar condiciones geométricas de angularidad por otras de tangencia que podremos aplicar en la resolución de otros problemas similares.

Como ejercicio para el lector se propone determinar las rectas que forman ángulos determinados con dos circunferencias diferentes, o un ángulo con una recta y simultáneamente otro con una circunferencia.

Geometría métrica

Geometría métrica: Nociones sobre ángulos

Los elementos geométricos en el plano que se cortan, rectas y circunferencias, pueden caracterizar su intersección mediante un valor denominado ángulo.

La noción de ángulo entre dos rectas es la más elemental entre las que se dan entre rectas y circunferencias, y sirve de referencia para definir el ángulo entre recta y circunferencia o el que forman dos circunferencias coplanarias.

Para definir un ángulo debemos recordar que una recta r divide a un plano en dos semiplanos.

[caption id="attachment_13927" align="aligncenter" width="237" caption="La recta r divide al plano en dos semiplanos"][/caption]

Una nueva recta s dividirá al plano en dos nuevos semiplanos, cuya intersección con los anteriores determinarán cuatro regiones de área infinita, pero iguales dos a dos.

[caption id="attachment_13928" align="aligncenter" width="264" caption="Intersección de semiplanos"][/caption]

Existen tres sistemas de medida de los ángulos:

• Radianes : Valores comprendidos entre 0 y dos veces el valor de PI


• Sexagesimal: Valores comprendidos entre cero y 360


• Centesimal: Valores comprendidos entre cero y 400

Ángulo entre dos rectas

El concepto de ángulo se usa para medir o caracterizar un área infinita, una porción del plano que a su vez es la intersección de dos semiplanos.

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice. Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal. (W)

Las primeras definiciones que se diero de estos conceptos se denominan definiciones clásicas:

Euclides define un ángulo como la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta. Según Proclo, un ángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado por Eudemo de Rodas, que describió un ángulo como desviación de una línea recta; el segundo por Carpo de Antioquía, que lo vio como el intervalo o el espacio entre las líneas que se intersecaban; Euclides adoptó un tercer concepto, aunque sus definiciones de ángulos rectos, agudos, y obtusos son cuantitativas. (W)

El valor del ángulo entre dos rectas siempre se da como el menor de los dos que determinan.

Ángulo entre recta y circunferencia

[caption id="attachment_13931" align="alignleft" width="150" caption="Ángulo entre recta y circunferencia"][/caption]

Para definir el ángulo que forman una recta y una circunferencia incidentes, determinaremos la tangente en el punto de intersección.

Reduciremos el problema al de dos rectas.

El ángulo que forman una recta y una circunferencia que se cortan, es el que forma la recta con la tangente a la circunferencia en uno de los puntos de intersección.

La recta puede cortar en dos puntos a la circunferencia; si realizamos el cálculo del ángulo en cualquiera de los puntos de intersección, el valor es el mismo.

Ángulo entre dos circunferencias

[caption id="attachment_13932" align="alignleft" width="181" caption="Ángulo entre dos circunferencias"][/caption]

Para definir el ángulo que forman dos circunferencia incidentes, determinaremos las tangentes en uno de los puntos de intersección.

Reduciremos el problema al de dos rectas.

El ángulo que forman dos circunferencias que se cortan, es el que forman sus tangentes en cualquiera de sus puntos de intersección.

Las circunferencias pueden cortarse en dos puntos; si realizamos el cálculo del ángulo en cualquiera de los puntos de intersección, el valor es el mismo.

Geometría métrica