Geometría métrica : Determinación de circunferencias de radio conocido con condiciones angulares

Los problemas de determinación de circunferencias con radio conocido que cumplen restricciones geométricas son ejercicios de naturaleza similar a los vistos para rectas.

Estos problemas se resuelven mediante la intersección de lugares geométricos.

En particular, si consideramos a la recta como circunferencia de radio infinito, estaremos por tanto en el caso estudiado de determinación de rectas con condiciones angulares.

Condición angular respecto de rectas

Iniciaremos el análisis con condiciones de tangencia (ángulo cero) para determinar el lugar geométrico de centros de circunferencias de radio conocido que son tangentes a una recta r. Posteriormente generalizaremos estos lugares geométricos para cualquier ángulo de incidencia.

Para determinar una circunferencia necesitaremos tres restricciones geométricas. En el problema propuesto tendremos como datos el radio de la circunferencia y la condición de tangencia, quedando un grado de libertad para definir dicha circunferencia.

Tendremos por tanto infinitas soluciones y, en consecuencia, un lugar geométrico para sus centros.

Supongamos que buscamos la que pasa por un punto T de tangencia concreto en la recta r. El centro O se encontrará en la perpendicular a r por el punto T, a distancia R (radio de la circunferencia). Si desplazamos el punto T a lo largo de r encontraremos los infinitos centros de las soluciones y, en consecuencia, el lugar geométrico de sus centros LG es una recta paralela a la anterior a distancia R.

[caption id="attachment_13963" align="aligncenter" width="456" caption="Lugar geométrico centros de circunferencias tangentes a recta"][/caption]

En realidad tendremos dos posibles lugares geométricos, ya que la distancia R que hemos tomado desde el punto de tangencia T se puede llevar en los dos sentidos sobre la dirección perpendicular.

[caption id="attachment_13967" align="aligncenter" width="473" caption="Centros de circunferencias de radio conocido tangentes a una recta"][/caption]

Si en lugar de considerar una restricción de tangencia usamos una condición angular, el problema no difiere mucho.

Determinaremos una solución (la que pasa por un punto P) y generalizaremos el lugar geométrico. Para ello, en el punto P buscaremos una recta t que forme con la recta r la condición angular. Esta recta t será la tangente a la circunferencia en el punto P y su centro se encontrará en la perpendicular a ella y a distancia R.

De nuevo nos encontramos con dos posibles rectas como lugares geométricos para los posibles centros de las soluciones.

[caption id="attachment_13968" align="aligncenter" width="524" caption="Centros de circunferencias incidentes según un ángulo dado con una recta"][/caption]

Condición angular respecto de circunferencias

Si la condición angular es respecto de una circunferencia, el procedimiento para la determinación del lugar geométrico de los centros es similar. Buscaremos una solución que pase por un punto de la circunferencia y determinaremos el lugar geométrico.

Si la condición es de tangencia, en un punto T cualquiera determinaremos la tangente t y el centro se encontrará a distancia R según la dirección perpendicular a dicha tangente. Vemos que en este caso los lugares geométricos son dos circunferencias concéntricas con que nos han dado como dato, c, con radios la suma o diferencia de radios del de c y el valor R.

[caption id="attachment_13971" align="aligncenter" width="460" caption="Centros de circunferencias de radio dado tangentes a una circunferencia"][/caption]

 Si la condición es un ángulo cualquiera deberemos determinar la tangente a c en un punto cualquiera P y obtener una recta que pase por dicho punto y forme el ángulo dado. Esta recta será la tangente a la solución que buscamos y su centro se encontrará en la perpendicular a distancia R.

[caption id="attachment_13972" align="aligncenter" width="443" caption="Circunferencia de radio dado que forma un ángulo con otra circunferencia"][/caption]

En la figura anterior sólo se ha determinado uno de los dos lugares geométricos. El otro lo obtendríamos trazando una recta con la condición angular en el otro sentido.

Notese que la condición de paso por un punto es lo mismo que considerar que la circunferencia dato tiene un radio nulo, de forma análoga a pensar que una condición respecto de una recta es suponer que el radio es de longitud infinita.

Aplicación a la resolución de problemas

Podemos resolver diferentes problemas en los que se conoce el radio de la circunferencia buscada mediante la intersección de los lugares geométricos que hemos visto. Necesitaremos imponer dos condiciones geométricas adicionales para completar el problema:

• Que pasan por dos puntos


• Que pasan por un punto y son tangentes a una recta


• Que pasan por un punto y son tangentes a una circunferencia


• Que pasan por un punto y forman un ángulo con una recta


• Que pasan por un punto y forman un ángulo con una circunferencia


• Que son tangentes a dos rectas


• Que son tangentes a dos circunferencias


• Que son tangentes a una recta y una circunferencia


• Que forman un ángulo con una recta y son tangentes a otra recta


• Que forman un ángulo con una circunferencia y son tangentes a otra recta


• Que forman un ángulo con una recta y otro con otra recta


• Que forman un ángulo con una circunferencia y otro con otra recta


• Que forman un ángulo con una circunferencia y otro con otra circunferencia

Intersección de lugares geométricos

Veamos por último un ejemplo de aplicación de los enunciados en los que apliquemos la intersección de estos lugares geométricos en su resolución.

Supongamos el siguiente problema:

Determinar las circunferencias de radio conocido que son tangentes a una recta y a una circunferencia

[caption id="attachment_13973" align="aligncenter" width="508" caption="Lugares geométricos. Enunciado del problema"][/caption]

Con la condición de tangencia y el radio dado obtendríamos los lugares geométricos correspondientes.

[caption id="attachment_13974" align="aligncenter" width="490" caption="Obtenemos lo lugares geométricos"][/caption]

Determinamos los puntos de intersección de dichos lugares geométricos que serán los centros de las circunferencias buscadas

[caption id="attachment_13975" align="aligncenter" width="550" caption="Soluciones mediante la intersección de los lugares geométricos"][/caption]

Vemos que el número de soluciones depende del número de puntos de intersección, consecuencia de las posiciones relativas de los datos.

Geometría métrica