Las rectas paralelas se cortan en el infinito, ¿mito o realidad?

Uno de los conceptos que más cuesta asimilar en las primeras clases de geometría proyectiva es el de punto impropio. Un punto impropio es un punto que se encuentra en el infinito y que podemos traducir o interpretar como una dirección.

Mientras en la geometría métrica dos rectas se cortan o son paralelas, en la geometría proyectiva siempre se cortan en un punto propio o impropio, lo que no cambia en ningún caso la operatividad con este modelo geometrico-matemático.

Mis alumnos han querido destacar este aspecto en sus trabajos y, en la experiencia de innovación educativa en la que desarrollamos en blogs la asignatura, nos ofrecieron este curioso artículo. El grupo "Proyectando-ando" hizo gala a su nombre:

Las rectas paralelas se cortan en el infinito, ¿mito o realidad?

Siempre hemos escuchado que dos rectas paralelas son aquellas que por mucho que se prolonguen nunca llegan a cortarse, pero también conocemos el concepto de que dos rectas paralelas se cortan en el infinito. ¿Cual de estas dos afirmaciones es verdadera? A continuación intentaremos dar respuesta al dilema ante el que nos encontramos.

[caption id="attachment_16692" align="aligncenter" width="320"] ¿ Rectas paralelas ?[/caption]

Euclides fue un matemático y geómetra griego, que vivió alrededor del 300 a.C. Se le conoce como "El Padre de la Geometría" y fue el creador de la geometría que lleva su propio nombre.

La geometría euclidiana es aquella que estudia las propiedades del plano y el espacio tridimensional. La presentación de ésta se hace mediante un sistema de axiomas que, a partir de un cierto número de postulados que se presumen verdaderos y a través de operaciones lógicas, genera nuevos postulados cuyo valor de verdad es también positivo. Euclides planteó cinco postulados en su sistema:

1.  Dados dos puntos se puede trazar una y sólo una recta que los une.


2. Cualquier segmento puede prolongarse de forma continua en cualquier sentido.


3. Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio.


4. Todos los ángulos rectos son iguales.


5. Si una recta, al cortar a otras dos, forma ángulos internos menores a un ángulo recto, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

Este último postulado, que es conocido como el postulado de las paralelas, fue reformulado como:

5. Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta dada.

Euclides asumió que todos sus postulados o axiomas eran auto-evidentes y por tanto hechos que no requerían demostración. Sin embargo, el quinto postulado resultó que si bien es compatible con los otro cuatro, es en cierto modo independiente. Es decir, tanto el quinto postulado como la negación del quinto postulado, son compatibles con los otros cuatro postulados. Las geometrías donde el quinto postulado no es válido se llaman geometrías no-euclidianas.

En el Renacimiento las nuevas necesidades de representación del arte y de la técnica empujan a ciertos humanistas a estudiar propiedades geométricas. Al descubrir la perspectiva y la sección, crean la necesidad de sentar las bases formales en la que cimentar las nuevas formas de geometría que ésta implica: la Geometría proyectiva, cuyos principios fundamentales aparecen en el siglo XVII:

•  Dos puntos definen una recta.


• Todo par de rectas se cortan en un punto (cuando dos rectas son paralelas decimos que se cortan en un punto del infinito conocido como punto impropio).

A través de estos dos principios podemos obtener la respuesta a nuestra pregunta. La diferencia que encontramos está en el quinto postulado de Euclides (de las paralelas); que dice: “por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta dada”. Este axioma, en proyectiva acabamos de ver que no existe, de modo que no existen las "paralelas"; todas las rectas son secantes, es decir, se cortan en un punto. Por lo tanto, aparece el concepto de punto impropio (marcado con el subíndice infinito; ya que no lo representamos en un lugar concreto como los demás puntos); que vendría a determinar la "dirección" de la recta. Todas las rectas que -euclideanamente- serían "paralelas", proyectivamente se cortan en un mismo punto impropio y a su vez todos los puntos impropios de un plano determinan una recta impropia, única en ese plano.

A pesar de que lo acabamos de enunciar, a modo de conclusión la respuesta a nuestra pregunta de si las rectas paralelas se cortan en el infinito es la siguiente: LAS RECTAS PARALELAS DESDE EL PUNTO DE VISTA DE LA GEOMETRÍA PROYECTIVA SE CORTAN EN EL INFINITO, PERO BASANDONOS EN LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA LAS RECTAN NO LLEGAN A CORTARSE NUNCA.

 

Geometría Proyectiva

Orígen de la geometría proyectiva: Renacimiento [ Alumnos ]

Una de las partes de la geometría que tiene mayor incidencia en la representación es la correspondiente a la geometría descriptiva. Entre los trabajos que han realizado mis alumnos, algunos se han centrado en los orígenes de las diferentes geometrías, como el que hoy os presento en el que se relatan aspectos históricos y personajes que han aportado significativamente a este campo de la ciencia de gran aplicación a las ingeniarías y el Arte.

Por Catetos de la Geometría (publicado originalmente aquí)

[caption id="attachment_13073" align="alignleft" width="230"] Perspectiva[/caption]

La geometría proyectiva apareció como solución al problema del artista para pintar el mundo tridimensional en sus lienzos bidimensionales.
La geometría proyectiva tiene sus orígenes en el trabajo de los artistas del Renacimiento(S.XV); aunque algunos de los conceptos aparecen ya en los griegos. Con el fin de pintar cuadros más realistas, los artistas del Renacimiento trataron de descubrir las leyes que rigen la construcción de la proyección del objeto sobre una pantalla. Llegando a desarrollar los elementos de una teoría fundamental de una perspectiva geométrica, en el siglo XV eran los mejores físicos y matemáticos.

Este interés por desarrollar la geometría proyectiva se debe al cambio en la temática de la pintura. En el periodo medieval las pinturas eran de carácter principalmente religioso y los pintores representaban a los personajes y objetos de una forma sumamente estilizada, generalmente sobre fondo dorado, para subrayar que el cuadro no tenía conexión con el mundo real. En el Renacimiento con la llegada del humanismo y el antropocentrismo la pintura se centra en la representación del mundo real.

Filippo Brunelleschi (1377-1446) fue el primer artista en tener una teoría sobre el método a usar. Se dice que su interés en las matemáticas le llevó a estudiar la perspectiva, y que empezó a pintar para aplicar la geometría.

El primer libro fue escrito por Leone Battista Alberti (1404-1472), considerado el genio teórico en la perspectiva matemática, que presentó sus ideas en “Della Pintura” (1435).

Alberti propone unas reglas para pintar lo que ve un ojo (consciente de que en la visión normal ambos ojos ven la misma escena desde posiciones distintas y el cerebro percibe la profundidad superponiendo esas dos imágenes, intenta conseguir esa ilusión de profundidad a base de juegos de luces y sombras y disminución de intensidad). El método se basaba en un instrumento llamado el “Velo de Alberti”. Su principio básico es el siguiente: Considera una pirámide de rayos que parten del ojo del pintor y terminan en cada punto de la escena que desea pintar. Esta pirámide de rayos la llamo proyección. Si entre la escena y el ojo se coloca una pantalla de cristal, cada uno de los rayos determina un punto sobre el cristal formándose así una sección. Y esta sección crea en el ojo la misma imagen que la escena misma. Según la posición de la pantalla, tendremos distintas secciones del mismo objeto.

[caption id="attachment_13074" align="aligncenter" width="320"] Alberti[/caption]

Aunque muchos artistas escribieron sobre perspectiva, destacan:

• Da Vinci decía que la pintura debía ser una reproducción exacta de la realidad y que la perspectiva matemática lo permitiría. Sus escritos sobre perspectiva se encuentran en su “Tratatto Della pintura” (1651).


• Piero della Francesca estableció los principios matemáticos de la perspectiva de una forma bastante completa. Su obra “De prospectiva pingendi” aportó algunos avances a las ideas de Alberti. Sus procedimientos son útiles para los artistas, pero carecen del mínimo rigor en unas demostraciones que son simples construcciones.

Geometría Proyectiva

Proyecciones y navegación [Alumnos]

La especialidad de navegación aérea, denominada "Aeronavegación", de las enseñanzas de ingeniería aeronáutica hacen un uso especializado de la geometría para la confección de cartas de navegación.

Los alumnos que han elaborado este trabajo son sensibles a ello y destacan por tanto una de las aplicaciones de las enseñanzas que han recibido.

El grupo "HAFF" nos aporta otra interesante muestra de aprendizaje transversal en el campo de la geometría proyectiva.

La carta aeronáutica se define como la representación de una porción de la tierra, su relieve y construcciones, diseñada especialmente para satisfacer los requisitos de la navegación aérea. Se trata de un mapa en el que se reflejan las rutas que deben seguir las aeronaves, y se facilitan las ayudas, los procedimientos y otros datos imprescindibles para el piloto.(W)

por HAFF

En esta entrada se tratarán los principales tipos de proyecciones que se realizan en cartografía para elaborar cartas de navegación. En el campo de la aeronáutica, esto tiene cierta importancia para la navegación aérea, puesto que hoy en día los pilotos utilizan las cartas de navegación a pesar de la existencia de radioayudas, el radar y el GPS.

El principal problema que surge es que la superficie de la Tierra no es desarrollable y por ello no es posible proyectarla con total fidelidad sobre un plano. Así, cada tipo de proyección tendrá sus limitaciones, en las cuales una tripulación se basa para escoger un mapa, en función del tipo de ruta.

En la aeronáutica, las superficies de proyección que se utilizan son el plano, el cilindro y el cono, dando lugar a las proyecciones planas, cilíndricas y cónicas.

PROYECCIONES PLANAS

En función del punto desde el que proyectamos los puntos del planeta sobre el plano, podemos dividirlas en:

• Ortográfica: Se proyecta desde un punto impropio (infinito) de tal modo que proyectamos la esfera perpendicularmente al plano de proyección.


• Escenográfica: El origen de la proyección corresponde a un punto exterior a la superficie de la Tierra y a una distancia finita.


• Estereográfica: El origen de la proyección está situado sobre la superficie de la Tierra, en un punto diametralmente opuesto al plano.


• Gnomónica o centrográfica: El centro de la tierra es el origen de la proyección.

CONFORMIDAD, EQUIVALENCIA Y CÍRCULOS MÁXIMOS

Para hacer una carta de navegación, es importante tener en cuenta ciertos conceptos que describimos a continuación.

• CONFORMIDAD: Decimos que una proyección es conforme si se conservan los ángulos. Es decir, si medimos los ángulos de un triángulo formado por tres pueblos, en la carta han de coincidir estos tres valores.


• EQUIVALENCIA: Una proyección es equivalente si mantienes las áreas.


• EQUIDISTANCIA: si conserva las distancias reales entre los diversos puntos del mapa.

Una buena proyección debe ser conforme y equivalente. Pero es imposible tener una proyección que satisfaga estas características por completo. Por ello, se buscan soluciones intermedias. La conformidad y la equivalencia no son fáciles de darse a la vez puesto que una proyección de una figura que conserva sus ángulos no conservará su área.

Otros conceptos a tener en cuenta, a fines de navegación, son el cómo se transformará una línea loxodrómica y una ortodrómica en la proyección. Veamos estos dos conceptos:

• En una superficie plana la distancia más corta entre dos puntos viene dada por una línea recta


• Sobre una superficie esférica, como es aproximadamente la Tierra, para ir de un punto a otro por el camino más corto, se debe ir por un arco de círculo máximo.

Se llama círculo máximo a la intersección de una esfera con un plano que pase por su centro. Es decir, una circunferencia de radio máximo en la esfera. Por ejemplo, todos los meridianos son círculos máximos. Pero no todos los paralelos, puesto que van reduciendo su radio conforme aumentamos o bajamos de latitud desde el ecuador (que es un círculo máximo).

Pues bien, una línea (o ruta) ortodrómica es aquélla que es un arco de círculo máximo y, por ello, el camino más rápido entre dos puntos. Sin embargo, cuando nos movemos con un rumbo fijo con nuestra aeronave, no estamos realizando este tipo de trayectoria, sino que estamos volando en una loxodrómica, que es aquélla ruta que corta a los meridianos con el mismo ángulo (lo que ocurre al mantener un rumbo geográfico constante). Describiríamos una trayectoria como la de la imagen. Es decir, para volar en una ortodrómica habría que estar cambiando de rumbo constantemente. Aunque hay que tener en cuenta que esto ocurre a gran escala y para viajes de corto alcance esto influye en mucho menor grado.

 

[caption id="attachment_12476" align="aligncenter" width="442" caption="loxodromica"][/caption]

 

Dicho esto, para el piloto de la nave, es importante saber cómo se va a representar una loxodrómica y una ortodrómica. Una forma de verlo rápidamente es fijarnos en la forma que tienen los meridianos (círculos máximos) en nuestra carta. Si vemos que son lo más rectilíneos posibles, nos será más útil. Veamos a continuación los distintos tipos de proyecciones y cómo están presentes estas cualidades en ellas.

PROYECCIONES

Gnomónica polar: No es conforme y, al igual que en la anterior, conforme nos alejamos del polo las formas se distorsionan en mayor grado. Los paralelos y los meridianos son ortogonales. Las líneas ortodrómicas son líneas rectas y las loxodrómicas son líneas curvas.

Cilíndrica Mercator: Es conforme y la distorsión de áreas y formas aumenta con el alejamiento del ecuador (no es indicada para representar todo el globo terráqueo). Los paralelos y los meridianos son ortogonales. Los paralelos se presentan como líneas rectas paralelas desigualmente espaciadas. Los meridianos aparecen como rectas paralelas igualmente espaciadas. Las líneas ortodrómicas son curvas, a excepción de los meridianos y el ecuador. La línea loxodrómica será una recta. El origen de la proyección es el centro de la esfera y el plano de proyección es tangente a ésta en el ecuador. Es muy utilizada en navegación por la facilidad de trazar loxodrómicas. Una descripción matemática de la proyección puede encontrarse en: Proyección de Mercator

Cónica conforme de Lambert: Se trata de la proyección más utilizada en la Aviación General (entre ellas la carta de la OACI 1: 500.000). Es conforme y la distorsión de áreas y formas es muy ligera. Los paralelos y los meridianos son ortogonales y la escala de distancias es prácticamente constante. Los paralelos se presentan como arcos de círculos concéntricos casi igualmente distanciados. Los meridianos aparecen como líneas rectas que convergen en el polo. Las ortodrómicas son aproximadamente rectas y las loxodrómicas son curvas. Se proyecta desde el centro de la esfera hacia una superficie cónica, que corta al plano de proyección (carta) en dos paralelos llamados estándar o automecoicos. Se utiliza prácticamente para todos los tipos de navegación.

Elipses y Parábolas a nuestro alrededor [Alumnos]

Un tipo de trabajo recurrente en los blogs que han desarrollado mis alumnos ha consistido en la búsqueda e identificación de la geometría en todos los aspectos de su realidad cotidiana, dándose cuenta de la importancia de la misma.

Las curvas cónicas que se estudian en el apartado de geometría métrica tienen un alto interés en los estudios de ingeniería aeronáutica, ya que permiten describir las trayectorias de los cuerpos sometidos a las leyes gravitatorias. Sin embargo, como claramente destacan en sus trabajos, no son los únicos campos de aplicación. El breve artículo que sigue, realizado por el grupo de alumnos autodenominado "El laberinto del Ángulo"  es una muestra de estas inquietudes de relación con lo cotidiano.

por AG El Laberinto del Ángulo

Seguro que ya sabes que las elipses y parábolas son curvas son muy importantes en Física ya que se ajustan perfectamente a la representación matemática de muchos fenómenos.

Pero también vemos elipses y parábolas en nuestra vida cotidiana sin que nos demos cuenta de ello. A continuación te mostramos algunos ejemplos.

• Parábola: cualquier cuerpo lanzado al aire horizontal u oblicuamente realiza una parábola bajo la acción de la gravedad.

Un ejemplo es una pelota que bota desplazándose en la cual la parábola va haciendo más pequeña debido a la pérdida de energía desperdiciada en cada bote.

Otro ejemplo de bonitos arcos parabólicos son los creados por las fuentes de las ciudades sean las fuentes ‘‘Cibeles’’, ‘‘Neptuno’’o las del Paseo del Prado de Madrid. 

También podemos encontrar formas parabólicas cuando un haz luminoso se proyecta cónicamente sobre una pared blanca de forma que la pared sea paralela a la generatriz del cono.

O también en una antena parabólica (o para el seguimiento de satélites) la cual aprovecha una de las propiedades más importantes de la parábola que es cualquier rayo que incida de forma paralela al eje de la parábola rebota en su superficie pasando por el foco concentrando los rayos en este punto. También es el caso del faro del coche, cocina solar...

• Elipse: es la curva que describen los planetas en su giro alrededor del sol pero también podemos encontrarlas a nuestro alrededor aunque es difícil pero solo aparentemente.

Algunos ejemplos son las plazas con ''forma elíptica'' que podemos encontrar en ciudades como Madrid o Bilbao pero sin duda la más famosa e impresionante es la Plaza de San Pedro en el Vaticano.

O también la iglesia del Monasterio de San Bernardo en Alcalá de henares (Madrid) ,más conocido como ''Las Bernardas''. Un templo de una única nave y planta elíptica con cúpula del mismo trazado.

Bibliografía: www.elrincóndelaciencia.com

Los Grados de Libertad y las Restricciones [Alumnos]

Uno de los primeros conceptos que abordamos en las clases de geometría es el de restricciones y grados de libertad de una figura geométrica. Nos permite cuantificar la complejidad de la misma y el posible camino para su determinación geométrica en los problemas.

Mis alumnos han interiorizado este concepto y en sus blogs es un tema recurrente.

El número de grados de libertad en ingeniería se refiere al número mínimo de parámetros que necesitamos especificar para determinar completamente la velocidad de un mecanismo o el número de reacciones de una estructura.(W)

Os dejo este análisis del grupo HAFF que con sus propias palabras nos acercan a estos conceptos de alto interés formativo

por HAFF

Los Grados de Libertad son una de las herramientas más útiles del dibujo técnico, pues permiten a la persona que trabaja discernir entre los tipos de problemas más básicos que hay: Los que tienen solución y los que no.

Todo esto es gracias a que los grados de libertad nos dan la información que necesitamos para poder resolver un problema geométrico.

Otra cosa importante a destacar es la diferencia entre los grados de libertad y las restricciones geométricas. Los grados de libertad nos dan información acerca de la LIBERTAD con la que podemos construir una figura en función del número de estos; en cambio, las restricciones lo que nos indican son las características de nuestra figura a construir que no son libres. Por ejemplo, un paralelismo o la medida de una arista o un ángulo. Ambos están relacionados mediante una fórmula muy simple:

P=N-R

donde P (Número de parámetros necesarios para construir la figura), N (Número de grados de libertad que tiene la figura general) y R (Número de restricciones que se aplican a la construcción).

La forma de hallar el número de grados de libertad sigue una forma muy sencilla. El número total es el número de vértices por los grados de libertad de un vértice. En este caso, en el plano, cada vértice tiene 2 grados de libertad (ordenada y coordenada), en el espacio 3 (altura, profundidad) y sucesivamente por cada dimensión añadida del espacio, un grado de libertad más.

Tipos de Restricciones

Forma: Este tipo de restricciones es el que nos indica la forma de nuestra construcción geométrica (valga la redundancia), es decir, el “aspecto” que va a presentar. Estas restricciones son principalmente paralelismos, perpendicularidad, tangencia u ortogonalidad.

Tamaño: Estas nos indican lo grande o pequeña que es la figura en su representación. Son restricciones de tipo métrico pues implican medidas (de longitud y ángulo).

Posición: La posición de un objeto en el espacio en el que lo representemos nos quitará cierta libertad del mismo. Estas restricciones suelen ser posiciones de puntos pertenecientes a las figuras.

Orientación: Indican posiciones relativas de objetos respecto a ciertas referencias. Generalmente son ángulos respecto a los distintos ejes de los sistemas (en cartesianos principalmente, aunque también se usan en sistemas cilíndricos o esféricos).

Finalmente, un ejemplo que ayude a ilustrar la explicación.

Un cuadrado genérico en el plano (se da por conocida la figura, espero…) consta de 4 vértices, pertenece a la familia de los cuadrivértices por lo que tendría un total de 8 grados de libertad. Ahora bien, la palabra “cuadrado”, en sí, es la que nos da las distintas restricciones.

• Forma: 4 restricciones (ó 0 grados de libertad). Estas son: un lado perpendicular a otros dos y paralelo a un tercero y además que dos lados cualesquiera son iguales.


• Tamaño: 0 restricciones (1 grado de libertad), la longitud de la arista es libre (salvo que esté definida en el problema).


• Posición: 0 restricciones (2 grados de libertad), la posición de un punto queda a libre elección de la persona que lo dibuja.


• Orientación: 0 restricciones (1 grado de libertad), el ángulo de un lado respecto a un eje marca la orientación de la figura y nos da una libertad.

Resumiendo, el cuadrivértice poseía de manera genérica 8 grados de libertad. Al definirlo como cuadrado nos da un total de 4 restricciones (las de forma) dejando libres 4 grados de libertad. En otro caso no genérico, estos grados de libertad estarían definidos de alguna forma incrementando el número de restricciones del mismo.

Este trabajo ha sido realizado por los alumnos de la EUIT Aeronáutica de la Universidad Politécnica de Madrid dentro del marco de los proyectos de innovación educativa Blogs educativos experimentales e INNOVABLOG

Imagen de cabecera perteneciente a:

POSICIONADOR PLANO DE DOS GRADOS DE LIBERTAD CON ACTUADORES ESTATICOS Y CONFINADOS

Espirales [Alumnos]

La geometría se presenta en los elementos que constituyen la naturaleza. Las formas cotidianas se pueden describir con modelos gráficos geométricos simples. Convivimos por tanto con la geometría de forma cotidiana sin prestarle demasiada atención.
Mis alumnos han reflexionado sobre ello y nos han presentado algunos ejemplos en sus trabajos, como éste breve artículo que busca espirales en nuestro entorno

por KON-PAS

¿En qué se parecen un tornillo, una galaxia y un caracol?

Todos ellos tienen forma de espiral, una figura geométrica por la que la naturaleza y el hombre parecen sentir especial predilección. La forma el agua al colarse por el desagüe, las pipas de girasol cuando están en la planta, las telas de las arañas, las borrascas, las caracolas marinas, los cuernos de las cabras, los colmillos del elefante…

El hombre también se aprovecha de sus virtudes y puedes observar que empleamos espirales todos los días, ya que están en los sacacorchos, los ventiladores, los discos musicales, los rollos de papel, el cable del teléfono o las cintas magnetofónicas. Seguro que si te fijas encuentras más espirales a tu alrededor.

publicado en http://igweb.euita.upm.es/

Proporción Divina: Φ-bonacci [Alumnos] [Blogs experimentales]

Una de las entradas más adaptadas a las asignaturas de Geometría, nos la presenta el grupo "AG Los Trapezoides", donde rescatan conceptos básicos de uso en múltiples aplicaciones de ingeniería: El número áureo.

Este número, también relación geométrica, ha sido elegido como tema por otros grupos de alumnos dada su importancia, tanto en el estudio básico de la relación áurea (una buena introducción simplificada que añade un divertido vídeo del Pato Donald) como en el de las proporciones de las figuras humanas,

Os dejo un análisis por lo tanto de esta relación, profundizando en algunos conceptos de interés.

por AG Los Trapezoides

El número áureo o de oro (también llamado número dorado, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la letra griega φ (fi) (en honor al escultor griego Fidias), es el número irracional:

Se trata de un número algebraico que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” de medida, sino como relación o proporción entre segmentos.

Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza en elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, etc.

Asimismo, se atribuye un carácter estético especial a los objetos que siguen la razón áurea, así como una importancia mística. A lo largo de la historia, se le ha atribuido importancia en diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido objetables para las matemáticas y la arqueología.

Esta proporción divina puede expresarse fácilmente en palabras:

“LA RELACIÓN QUE GUARDA EL TODO CON SU PARTE MAYOR , ES LA MISMA QUE LA DE ESTA PARTE MAYOR CON LA PARTE MENOR QUE ES COMPLEMENTARIA AL TODO”.

Cuando un segmento se divide en dos partes, de tal forma que las razones anteriores den el número “fi” , se dice, en palabras de Euclides, que este segmento ha sidocortado en su media y extrema razón.

[caption id="attachment_10167" align="alignleft" width="300" caption="Construcción de la proporción áurea"][/caption]

Al parecer, la armonía que entraña el que el todo guarde esta relación con sus partes es algo consustancial a la percepción humana, que no solamente es capaz de detectarla de forma innata, sino también de agradecerla.

¿Existe, acaso, algún código secreto que sea usado por la naturaleza, la ciencia y el arte, al que los seres humanos respondan intuitivamente?

[caption id="attachment_10168" align="alignleft" width="300" caption="El Partenón"][/caption]

Desde la pirámide de Keops, de altura la raíz cuadrada de φ y de altura de sus caras igual a φ, medidas ya observadas por el propio Herodoto, hasta el sistema de proporciones ideado por Le Corbusier, el denominado MODULOR, basado en la proporción áurea y usado en la construcción de sus modernistas edificios, pasando por el Partenón o las estatuas de Miguel Ángel, por solo citar ejemplos arquitectónicos, así parecen atestiguarlo.

Sucesión de Fibonacci

Una interesante relación aparece entre la llamada sucesión de Fibonacci y la proporción áurea.

La sucesión de Fibonacci está formada por elementos que son la suma de los dos anteriores, comenzando por el número uno: 1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, … Pues bien, si calculamos el cociente entre elementos sucesivos, veremos que,estos cocientes tienden al número áureo φ.

Precisamente esta propiedad sirve de base a la construcción del llamado rectángulo áureo que se puede dibujar encajando los cuadrados de los números de Fibonacci de tal manera que vayan formando a su vez rectángulos áureos. Construcción a la que Mario Livio denomina “cuadrar rectángulos”.

Bibliografía:

Hemenway, P. El código secreto.

Livio, Mario. La proporción áurea.

Huntey, H.E. The Divine Proportion.

 

 

Proporciones del Cuerpo para Dibujar [Alumnos] [Blogs Experimentales]

Una nueva entrada creada por mis alumnos de "Expresión gráfica" que ha sido seleccionada para ser publicada en el blog de la escuela http://igweb.eiae.upm.es

En este caso nos presentan la aplicación de la "relación áurea" a la representación o cálculo de las proporciones del cuerpo, como nos propuso Leonardo en sus estudios de anatomía. Unas sencillas reglas que nos pueden servir para realizar dibujos con proporciones reales.

Leonardo da Vinci (Leonardo di ser Piero da Vinci) fue un pintor florentino y polímata nacido en Vinci el 15 de abril de 1452 y fallecido en Amboise el 2 de mayo de 1519, a los 67 años, acompañado de su fiel Francesco Melzi, a quien legó sus proyectos, diseños y pinturas. Tras pasar su infancia en su ciudad natal, Leonardo estudió con el célebre pintor florentino Andrea de Verrocchio. Sus primeros trabajos de importancia fueron creados en Milán al servicio del duque Ludovico Sforza. Trabajó a continuación en Roma, Boloña y Venecia, y pasó los últimos años de su vida en Francia, por invitación del rey Francisco I.(W)

por AG El Laberinto del Ángulo

La forma de dibujar el cuerpo humano es mediante las proporciones que se consideran idóneas.

En primer lugar, hay que tener en cuenta las principales diferencias entre la figura masculina y femenina:

1. El pecho es más bajo en la mujer que en el hombre.


2. La caja torácica (cintura) es más amplia en el hombre que en la mujer.


3. Las caderas de la mujer son más anchas.


4. Las extremidades superiores e inferiores son más delgadas en las mujeres, lo que además caracteriza la feminidad.

Una vez conocidas las principales características y diferencias entre hombres y mujeres es cuando se puede comenzar a crear personajes.

Por lo general a la hora de dibujar el cuerpo humano utilizaremos la medida de la cabeza como medida de referencia para el resto del cuerpo.

La altura total del cuerpo es de ocho cabezas y tres cuartos. Marcar las divisiones ayudará a dibujar el resto de los detalles del cuerpo.

La parte anterior del dorso tendrá tres cabezas e irá desde una línea a la altura de los hombros hasta el arco púbico.

La longitud del cuello erguido equivaldrá entre un cuarto y media cabeza.

El brazo, dos cabezas y tres cuartos desde donde se articula en el hombro hasta la articulación de la mano. Además, la línea del ombligo coincide casi exactamente con el codo.

La mano medirá, entonces, tres cuartos de cabeza.

La pierna tendrá cuatro cabezas de longitud e irá desde la altura de la articulación de la mano hasta la articulación del pie. La línea media de estas cuatro divisiones coincidirá con la rodilla. El pie será aproximadamente un cuarto de cabeza.

Finalmente, la mano, como vimos, mide tres cuartos de cabeza, la equivalencia a la distancia existente entre la barbilla y el nacimiento del pelo.

En cuanto a la parte posterior del torso (espalda), la medida es tres cabezas y media de longitud, partiendo de una línea a la altura de los hombros, hasta debajo de los glúteos.

Referencias: http://www.deseoaprender.com/

"Catetos de la Geometría: Los sólidos platónicos" [Blogs experimentales]

Os presento otro de los Blogs educativos"  que participan en la experiencia  de innovación educativa que se desarrolla en la EUITA.

La elección del nombre asocia los lados de un triángulo pitagórico (catetos), es decir, un triángulo rectángulo, con los constituyentes del grupo. El doble sentido de la palabra "catetos", que puede significar tanto un elemento geométrico como una persona "de pueblo" (normalmente y equivocadamente considerada poco culta) puede hacer referencia a su condición de "alumnos" y por tanto "desconocedores" de la materia objeto de estudio. Un rasgo de humildad y/o de humor.

El diseño del "avatar" representativo del grupo de trabajo, que en el momento de la publicación de este post lleva realizadas ocho aportaciones al blog, es una figura clásica de la geometría, un triángulo rectángulo. Es curioso ver la regularidad de la forma obtenida a partir de un cuadrado dividido por la diagonal, de forma que ambos catetos tienen igual longitud: ¿Un mensaje de igualdad y equilíbrio de los miembros del grupo?.

Os dejo una de sus páginas embebidas y el correspondiente enlace al blog (ya conocemos el formato utilizado en otras ocasiones) para la diseminación de la experiencia de innovación educativa y la promoción de los alumnos participantes.

Podeis participar haciéndoles comentarios a sus entradas, dando vuestra opinión y motivando su trabajo. Creo que nos pueden aportar, sin pérdida de rigor científico, una visión mucho más completa de la geometría y de sus posibilidades. En este caso nos presentan un tema de geometría del espacio, con la presentación de los poliedros regulares, base de la construcción de estructuras basadas en barras y/o tirantes. El movimiento de las imágenes permite su comprensión tridimensional

 Catetos de la Geometría

¿Qué os parece éste blog?

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