Geometría métrica : Generalización del problema fundamental de tangencias :

Hemos resuelto el que hemos denominado problema fundamental de tangencias cuando se presenta con condiciones de tangencia respecto de una circunferencia o de una recta. Conceptualmente podemos suponer que ambos problemas son el mismo, si consideramos a la recta como una circunferencia de radio infinito. El enunciado por lo tanto planteaba la obtención de circunferencias que pasando por dos puntos eran tangentes a una recta o tangentes a una circunferencia.

En ambos casos aplicaremos por lo tanto un razonamiento similar para su resolución, basándonos en los conceptos aprendidos de potencia.

Si consideramos que las circunferencias que pasan por dos puntos pertenecen a un haz de circunferencias elíptico, podemos generalizar el problema fundamental de tangencias (PFT) enunciándolo de la siguiente manera:

Determinar las circunferencias de un haz de circunferencias corradicales que son tangentes a un elemento geométrico (recta o circunferencia)

Hemos resuelto estos problemas por separado al estudiar cada tipo de haz:

• Caso Elíptico


• Caso Parabólico


• Caso Hiperbólico

En los tres casos se ha analizado el caso en el que la condición de tangencia es una recta o una circunferencia.

[caption id="" align="aligncenter" width="380"] Circunferencias de un haz hiperbólico tangentes a una recta[/caption]

La solución pasa por determinar un punto de igual potencia, Cr, respecto de la condición de tangencia y respecto del haz al que pertenece la solución. Si la condición es respecto de una recta, el punto buscado estará en la intersección de esta recta con el eje radical.

Si la condición de tangencia es respecto de una circunferencia deberemos localizar igualmente el punto de igual potencia respecto del haz y la circunferencia, para lo que deberemos obtener un eje radical auxiliar (e2) entre la condición de tangencia y cualquier circunferencia del haz.

La potencia de este punto, Cr, respecto de la condición de tangencia determinará los puntos de contacto entre esta circunferencia y las soluciones pertenecientes al haz.

Geometría métrica

Categorías de las formas geométricas y operaciones proyectivas

Categoría de las formas geométricas

Las formas geométricas se clasifican en categorías.

Desde un punto de vista paramétrico, la categoría de una forma geométrica indica el número de variables o datos necesarios para referenciar a un elemento de la misma.

Por ejemplo, en la forma geométrica “Plano punteado” (forma geométrica que contiene a los infinitos puntos que pertenecen a un mismo plano o base) son necesarias dos coordenadas para identificar a cada uno de sus puntos; diremos que el plano punteado es una forma de segunda categoría.

La serie rectilínea, el haz de rectas y el haz de planos son formas de primera categoría.

Las formas de segunda categoría son el plano punteado (o de puntos), el plano radiado (de rectas) así como la radiación de rectas (rectas que pasan por un punto dado del espacio R3) y la radiación de planos (planos que pasan por un punto).

Las formas de tercera categoría son el espacio de puntos (puntos de R3) o el de planos.

Operaciones proyectivas

Dos son las operaciones proyectivas. Son los operadores de nuestro modelo geométrico proyectivo.

• Proyección


• Sección

Proyectar desde un punto R una serie rectilínea de base b es generar un haz de rectas de vértice dicho punto. La forma geométrica que contiene a estos elementos tiene por base un plano.

Seccionar por una recta r un haz de rectas de vértice V es generar una serie de puntos de base dicha recta. La forma geométrica que contiene a estos elementos tiene por base un plano.

Las formas geométricas que resultan de seccionar por una recta o proyectar desde un punto otra forma geométrica se denominan “Formas perspectivas”.

Este concepto se generaliza igualmente para el elemento “plano”.

[caption id="attachment_11147" align="aligncenter" width="334" caption="Perspectividad entre formas de primera categoría."][/caption]

La perspectividad es deseable porque establece una relación sencilla entre los elementos geométricos (puntos y rectas o planos) de las correspondientes formas.

En la Figura la serie de base r, es perspectiva del haz de rectas de vértice R. A cada punto de la recta r le corresponde una recta del haz y viceversa.

[caption id="attachment_13573" align="aligncenter" width="400" caption="Sistemas_de_representacion"][/caption]

Geometría Proyectiva