Geometría métrica : Generalización del problema fundamental de tangencias :

Hemos resuelto el que hemos denominado problema fundamental de tangencias cuando se presenta con condiciones de tangencia respecto de una circunferencia o de una recta. Conceptualmente podemos suponer que ambos problemas son el mismo, si consideramos a la recta como una circunferencia de radio infinito. El enunciado por lo tanto planteaba la obtención de circunferencias que pasando por dos puntos eran tangentes a una recta o tangentes a una circunferencia.

En ambos casos aplicaremos por lo tanto un razonamiento similar para su resolución, basándonos en los conceptos aprendidos de potencia.

Si consideramos que las circunferencias que pasan por dos puntos pertenecen a un haz de circunferencias elíptico, podemos generalizar el problema fundamental de tangencias (PFT) enunciándolo de la siguiente manera:

Determinar las circunferencias de un haz de circunferencias corradicales que son tangentes a un elemento geométrico (recta o circunferencia)

Hemos resuelto estos problemas por separado al estudiar cada tipo de haz:

• Caso Elíptico


• Caso Parabólico


• Caso Hiperbólico

En los tres casos se ha analizado el caso en el que la condición de tangencia es una recta o una circunferencia.

[caption id="" align="aligncenter" width="380"] Circunferencias de un haz hiperbólico tangentes a una recta[/caption]

La solución pasa por determinar un punto de igual potencia, Cr, respecto de la condición de tangencia y respecto del haz al que pertenece la solución. Si la condición es respecto de una recta, el punto buscado estará en la intersección de esta recta con el eje radical.

Si la condición de tangencia es respecto de una circunferencia deberemos localizar igualmente el punto de igual potencia respecto del haz y la circunferencia, para lo que deberemos obtener un eje radical auxiliar (e2) entre la condición de tangencia y cualquier circunferencia del haz.

La potencia de este punto, Cr, respecto de la condición de tangencia determinará los puntos de contacto entre esta circunferencia y las soluciones pertenecientes al haz.

Geometría métrica

El problema del campo de fútbol

Un curioso problema, que suelo proponer en clase a mis alumnos, en el que podemos utilizar los conocimientos geométricos aprendidos al estudiar el concepto de potencia, es el de determinar la posición óptima de disparo a una portería de fútbol desde una trayectoria dada.

Podemos suponer que el jugador que realiza el disparo tiene suficiente potencia para poder realizarlo desde cualquiera de los puntos de su trayectoria, siendo por tanto el más adecuado aquél que le ofrezca mayor ángulo de visualización de la portería como veremos a continuación.

Para simplificar el enunciado, sin restar generalidad al problema, supondremos que el jugador se encuentra en un punto P del campo y corre paralelo a la banda (según la dirección d). La portería quedará determinada por el segmento AB.

La posición del jugador le permitirá ver a la portería bajo un cierto ángulo "alfa". Nuestro problema será por lo tanto encontrar un nuevo punto de la trayectoria "d" desde el que este ángulo sea máximo.

Al repasar los conceptos de "arco capaz" sobre un segmento, podemos concluir que éste punto será aquél que pertenezca a una circunferencia que pase por los puntos A y B, que a la vez sea tangente a la recta d para que su diámetro sea mínimo.

Este planteamiento nos lleva a resolver el "Problema fundamental de tangencias" en el caso de dos puntos y una recta, que solucionábamos mediante los conceptos de potencia de un punto respecto a una circunferencia.

La recta AB será el eje radical de todas las circunferencias que pasan por dichos puntos, mientras que la recta "d" lo será de todas las que son tangentes a esta recta. El punto Cr de intersección de ambas rectas tendrá igual potencia respecto de las que pasan por A y B, y las tangentes a "d", por lo que podremos determinar este valor de potencia que será la distancia al punto solución.

En la figura se ha resuelto con una circunferencia auxiliar de diámetro AB. La potencia desde Cr será igual al cuadrado del segmento de tangencia que pasará por el punto T. El punto solución, S, distará esta longitud a Cr.

Geometría Métrica

Geometría métrica: Circunferencias con condiciones angulares. Solución al Problema I

De las diferentes soluciones que se pueden dar al problema propuesto de obtención de circunferencias con condiciones angulares ( que pasan por un punto, son tangentes a una circunferencia y forman un ángulo con una recta), vamos a analizar aquella solución que utilice la aplicación de los conceptos de potencia utilizados en el "Problema Fundamental de Tangencias" ( PFT ).

Posteriormente podremos analizar caminos específicos a este problema concreto que pudieran simplificar su trazado o conceptualización geométrica.

En este último sentido cabe destacar que una construcción geométrica dada, un conjunto de líneas, pueden interpretarse de diferentes formas atendiendo al razonamiento abstracto aplicado al problema.

La búsqueda de modelos generalistas puede ser el primer paso formativo de un geómetra.

Sobre la modificación del enunciado del problema

El primer paso, aplicando el método lógico geométrico o metodología de trabajo expuesta, consistirá en cambiar las condiciones geométricas del problema por otras que sean equivalentes.

De forma general, trataremos de imponer condiciones idénticas cuando se trate de restricciones angulares para convertir las restricciones en "isoangularidad". En este caso, cambiaremos la condición de formar un ángulo de 45º con una recta por la de ser tangente a otra, ya que tenemos una condición de tangencia respecto de la circunferencia. Vemos que el enunciado cambiará a:

Determinar una circunferencia que es tangente a una recta y una circunferencia y pasa (es tangente) por un punto.

De forma análoga se podía haber cambiado la condición de tangencia por una angular a 45º, aunque este concepto ahora parezca más complejo y no sea el camino empleado.

[caption id="attachment_15135" align="aligncenter" width="493"] Grafo inicial con los datos del problema[/caption]

Enunciado modificado equivalente

En efecto, si la circunferencia buscada forma un ángulo con la recta r, su tangente t en el punto de contacto debe formar ese ángulo con r, tal y como vimos al definir el ángulo entre recta y circunferencia.

Nuestro problema consistirá por tanto en determinar una circunferencia tangente a otra y a una recta en uno de sus puntos.

[caption id="attachment_15136" align="aligncenter" width="569"] Enunciado modificado con condiciones de isogonalidad (Apolonio)[/caption]

El problema de isogonalidad que queda es una de las variantes del conocido como "Problema de Apolonio" que proponía la determinación de una circunferencia tangente a tres circunferencias dadas.

¿Tres circunferencias? En efecto, el punto de paso puede ser considerado como una circunferencia de radio cero (nulo) y la recta "t" otra de radio infinito. Este tipo de razonamiento permite agrupar por lo tanto este problema en otro más general de forma sencilla, como planteábamos al principio.

Su solución puede por tanto deducirse del modelo general, con la correspondiente generalización, o pueden incluirse simplificaciones debido a la naturaleza de las restricciones.

Planteamiento de la solución particularizada

Las circunferencias tangentes a la recta t en el punto P tendrán su centro en una recta perpendicular a t por el punto P. Determinan un haz parabólico de circunferencias con eje radical la recta t.

La recta s es el lugar geométrico de los centros de circunferencias que son tangentes a la recta r en el punto P.

Por último determinaremos el centro de la circunferencia solución (azul) que completa el problema. Para ello determinaremos la circunferencia que es tangente a la recta t en el punto P y es tangente a su vez a la circunferencia c1,

Si determinamos una circunferencia cualquiera que sea tangente a la recta t en el punto P y que corte a la circunferencia c1 en un par de puntos (A y B), estaremos obteniendo una de las circunferencias del haz parabólico mencionado.

El punto "I" de intersección de la recta A-B y la recta t es el centro radical de las circunferencias tangentes a t y que pasan por A y B, teniendo por tanto igual potencia respecto de todas ellas. Este valor de potencia es la distancia al punto P de tangencia al cuadrado, y permite por tanto determinar el punto T de tangencia en c1.

Faltaría el análisis del número de soluciones al problema genérico de determinar circunferencias que formen un ángulo con la recta, pasen por un punto y sean tangentes a la circunferencia. De las posibles soluciones que vendrán siempre en parejas, deberemos elegir aquella que se adapte al croquis determinado en el enunciado.

En general, en un problema de tangencias respecto de tres circunferencias, (problema de Apolonio), tendremos hasta 8 soluciones. En este caso se limitan a dos al degenerar una circunferencia en recta y otra en un punto.

¿Puedes resolver este ejercicio con otro modelo diferente? Mejor que hacer muchos ejercicios iguales, planteate resolver el mismo de muchas formas diferentes !!!

Los conceptos de inversión son de especial aplicación en estos problemas, como se ha visto en la "Aplicación a la resolución de problemas de tangencias y angulares"

Geometría métrica

Geometría métrica : Inversión : Aplicación a la resolución de problemas de tangencias y angulares

La inversión es una transformación que permite resolver problemas con condiciones angulares.

Su aplicación puede ser directa o servir para reducir los problemas tratados a otros más sencillos de naturaleza conocida.

Los diferentes enfoques con los que podemos tratar un problema serán objeto de estudio mediante el desarrollo de un clásico y sencillo problema de tangencias.

La generalización de las ideas tratadas a otras formas de enunciado, en problemas similares de la misma naturaleza, será un ejercicio que permitirá al lector sistematizar los modelos de resolución.

Planteamiento del problema a estudiar

Supongamos el siguiente problema:

Determinar las circunferencias que son tangentes a una circunferencia y a una recta en uno de sus puntos.

[caption id="attachment_14017" align="aligncenter" width="387" caption="Enunciado del problema de tangencias con condición de punto de paso"][/caption]

El problema puede ser un caso particular de angularidad, en particular de isogonalidad (igual ángulo), respecto de dos circunferencias y una condición de paso. Tres aspectos simplifican este caso sin restar generalidad:

• El ángulo puede ser considerado nulo (condición de tangencias).


• Una de las circunferencias es una recta (radio infinito)


• El punto de paso se encuentra sobre uno de los elementos (Punto de tangencia T)

Estas singularidades suelen simplificar el trazado (número de líneas necesarias para la resolución) aunque los conceptos utilizados sean los mismos. La utilidad en un problema didáctico es precisamente esa simplificación ya que permite enfocar los conceptos con menor dificultad.

Este problema se podría enunciar de forma general como:

Determinar la circunferencia que forma angulos alfa y beta con dos circunferencias dadas y pasan por un punto P.

Resolveremos como modelo de análisis el primer caso haciendo posteriormente los comentarios necesarios para que el lector pueda abordar el caso genérico y, en consecuencia, toda la diversidad de casos derivados.

Enfoque primero: Simplificación de la solución buscada

Abordaremos en primer lugar el problema mediante el enfoque menos conceptual y más laborioso desde el punto de vista de los trazados gráficos necesario. Este modelo será de aplicación siempre que se disponga de un punto de paso como condición o restricción geométrica para el problema, no permitiendo la generalización para el caso de tres circunferencias. Es por tanto un enfoque incompleto aunque de gran aplicación en numerosos problemas.

Aplicaremos la inversión al conjunto de datos, resolveremos el problema con los datos transformados y deshaciendo la transformación ( la solución obtenida en el conjunto invertido) determinaremos  la solución buscada.

En este modelo de solución usaremos el punto de paso como centro de inversión. Al hacer esto y transformar los datos la solución que buscamos se convertirá en un elemento geométrico más sencillo (una recta), simplificando en gran parte el problema.

La idea principal es por tanto simplificar la solución a buscar

El valor de la potencia puede ser cualquiera, incluidos los que transformen algún elemento en él mismo con objeto de simplificar trazados. En un primer nivel de análisis evitaremos estos valores  particulares de la potencia de inversión para diferenciar claramente el conjunto original y el transformado.

[caption id="attachment_14033" align="aligncenter" width="409" caption="Inversión de centro el punto de paso T"][/caption]

Los punto P y Q de corte con la circunferencia de autoinversión elegida son dobles. La circunferencia transformada será tangente a las tangentes t1 y t2 desde el centro de inversión a la circunferencia, como vimos al estudiar la inversión en el plano.

Tomando como potencia de inversión la potencia del punto T respecto de la circunferencia c, ésta se convierte en una circunferencia doble (ortogonal a la de autoinversión).

La recta r es inversa de sí misma, ya que pasa por el centro de inversión.

Como la circunferencia buscada pasa por el punto T que hemos tomado como centro de inversión, su transformada será una recta que no pasa por dicho punto, y que cumplirá las respectivas condiciones angulares (tangencia) respecto de las inversas de la circunferencia c y la recta r ( será tangente a c' y  a r' ).

La condición de tangencia entre dos rectas se traduce en condición de paralelismo entre ellas.

En la figura se han obtenido las transformadas de las soluciones, tal y como se ha descrito.

[caption id="attachment_14034" align="aligncenter" width="389" caption="Soluciones transformadas"][/caption]

Las rectas s'1 y s'2 se convertirán en las soluciones al problema al deshacer la transformación. Los puntos de tangencia de estas rectas se convertirán en los de tangencia de dichas soluciones.

[caption id="attachment_14035" align="aligncenter" width="423" caption="Soluciones del problema al deshacer la inversión"][/caption]

Si en lugar de tener condiciones de tangencia tuviéramos condiciones angulares, las rectas tangentes s'1 y s'2 lo serían a las circunferencias goniómetras que determinamos al estudiar los problemas de rectas con condiciones angulares.

Enfoque segundo: Inversión de un dato en otro

Este enfoque es el más generalista, permitiendo reducir los problemas más complejos al problema fundamental de tangencias para el caso recta o circunferencia, o bien obtener relaciones entre los elementos que lo simplifiquen.

Podemos utilizar dos centros de inversión que relacionan a la recta r y la circunferencia c ( o a dos circunferencias). Un centro positivo I+, y otro que tendrá potencia negativa, I-. En este caso de análisis deben encontrase sobre la circunferencia c.

El punto de tangencia T se transformará en T' mediante la inversión de potencia positiva y en T'' con la inversión de potencia negativa, dando lugar cada uno de ellos a una de las soluciones buscada.

[caption id="attachment_14039" align="aligncenter" width="374" caption="Inversión de un dato en otro"][/caption]

En estas condiciones cualquier elemento tangente a la circunferencia c se convertirá en uno tangente a su transformada, la recta r=c'. Las soluciones serán por tanto circunferencias dobles, inversas de sí mismas, que pasarán por los puntos T y T' y serán ortogonales a la de autoinversión (no representada)

[caption id="attachment_14042" align="aligncenter" width="381" caption="Solución mediante la inversión de un dato en otro"][/caption]

Las soluciones se determinarán al encontrarse sus centros en la perpendicular a la recta por el punto de tangencia, en la mediatriz de TT' o alineados con el centro de la circunferencia dato y su punto de tangencia.

En otro artículo generalizaremos el caso de angularidad genérica; veremos que la condición de ortogonalidad a la circunferencia de autoinversión permite reducir a haces de circunferencias las familias de soluciones.

Este enfoque de la inversión de un dato en otro será la base para la sustitución de condiciones angulares por condiciones de ortogonalidad.

Geometría métrica