Geometría proyectiva: Cuaternas ordenadas de elementos

De forma análoga a la definición que vimos de "ternas ordenadas de elementos", podemos enunciar una definición que implique a cuatro elementos.

La no conservación de la razón simple en proyecciones cónicas obliga a estudiar un nuevo modelo que sea de aplicación en estas representaciones, con un nuevo invariante presente en las razones dobles.

Dados cuatro elementos geométricos pertenecientes a una misma forma de primera categoría, podemos enunciar:

Cuatro elementos pertenecientes a una forma de primera categoría determinan una cuaterna. La ordenación de los puntos permite asociarles un valor denominado “característica de la cuaterna”.

[caption id="attachment_16769" align="aligncenter" width="193"] Cuaternas de rectas y de puntos[/caption]

Dados cuatro puntos, rectas o planos, la cuaterna se escribe matemáticamente con el siguiente simbolismo:

• puntos: (ABCD)


• rectas:  (abcd)


• planos: (abgd)

De forma análoga a lo visto para la razón simple que obteníamos en las ternas, una razón doble es el cociente de dos razones simples, como se expresa en la siguiente ecuación para puntos:

o para cuatro rectas:

pero las ternas de rectas expresaban un cociente, tal y como vimos, lo que nos permite desarrollar la expresión de una cuaterna con objeto de relacionar las cuaternas de puntos y las de rectas, o planos, que los proyectan.

que nos permiten obtener

La razón doble de cuatro rectas con vértice común, es la de los cuatro puntos en que las secciona cualquier recta que no pase por dicho vértice.

Conservación de la razón doble

La ecuación anterior es de gran importancia puesto que nos permite establecer un invariante proyectivo, que relaciona los elementos independientemente del tipo de proyección empleada.

[caption id="attachment_16782" align="aligncenter" width="653"] Perspectividades entre elementos de formas de primera categoria.[/caption]

Geometría Proyectiva

Orígen de la geometría proyectiva: Renacimiento [ Alumnos ]

Una de las partes de la geometría que tiene mayor incidencia en la representación es la correspondiente a la geometría descriptiva. Entre los trabajos que han realizado mis alumnos, algunos se han centrado en los orígenes de las diferentes geometrías, como el que hoy os presento en el que se relatan aspectos históricos y personajes que han aportado significativamente a este campo de la ciencia de gran aplicación a las ingeniarías y el Arte.

Por Catetos de la Geometría (publicado originalmente aquí)

[caption id="attachment_13073" align="alignleft" width="230"] Perspectiva[/caption]

La geometría proyectiva apareció como solución al problema del artista para pintar el mundo tridimensional en sus lienzos bidimensionales.
La geometría proyectiva tiene sus orígenes en el trabajo de los artistas del Renacimiento(S.XV); aunque algunos de los conceptos aparecen ya en los griegos. Con el fin de pintar cuadros más realistas, los artistas del Renacimiento trataron de descubrir las leyes que rigen la construcción de la proyección del objeto sobre una pantalla. Llegando a desarrollar los elementos de una teoría fundamental de una perspectiva geométrica, en el siglo XV eran los mejores físicos y matemáticos.

Este interés por desarrollar la geometría proyectiva se debe al cambio en la temática de la pintura. En el periodo medieval las pinturas eran de carácter principalmente religioso y los pintores representaban a los personajes y objetos de una forma sumamente estilizada, generalmente sobre fondo dorado, para subrayar que el cuadro no tenía conexión con el mundo real. En el Renacimiento con la llegada del humanismo y el antropocentrismo la pintura se centra en la representación del mundo real.

Filippo Brunelleschi (1377-1446) fue el primer artista en tener una teoría sobre el método a usar. Se dice que su interés en las matemáticas le llevó a estudiar la perspectiva, y que empezó a pintar para aplicar la geometría.

El primer libro fue escrito por Leone Battista Alberti (1404-1472), considerado el genio teórico en la perspectiva matemática, que presentó sus ideas en “Della Pintura” (1435).

Alberti propone unas reglas para pintar lo que ve un ojo (consciente de que en la visión normal ambos ojos ven la misma escena desde posiciones distintas y el cerebro percibe la profundidad superponiendo esas dos imágenes, intenta conseguir esa ilusión de profundidad a base de juegos de luces y sombras y disminución de intensidad). El método se basaba en un instrumento llamado el “Velo de Alberti”. Su principio básico es el siguiente: Considera una pirámide de rayos que parten del ojo del pintor y terminan en cada punto de la escena que desea pintar. Esta pirámide de rayos la llamo proyección. Si entre la escena y el ojo se coloca una pantalla de cristal, cada uno de los rayos determina un punto sobre el cristal formándose así una sección. Y esta sección crea en el ojo la misma imagen que la escena misma. Según la posición de la pantalla, tendremos distintas secciones del mismo objeto.

[caption id="attachment_13074" align="aligncenter" width="320"] Alberti[/caption]

Aunque muchos artistas escribieron sobre perspectiva, destacan:

• Da Vinci decía que la pintura debía ser una reproducción exacta de la realidad y que la perspectiva matemática lo permitiría. Sus escritos sobre perspectiva se encuentran en su “Tratatto Della pintura” (1651).


• Piero della Francesca estableció los principios matemáticos de la perspectiva de una forma bastante completa. Su obra “De prospectiva pingendi” aportó algunos avances a las ideas de Alberti. Sus procedimientos son útiles para los artistas, pero carecen del mínimo rigor en unas demostraciones que son simples construcciones.

Geometría Proyectiva

Geometría proyectiva: Ternas ordenadas de elementos

Ternas ordenadas de elementos

La geometría métrica se fundamenta en el conocido teorema de pitágoras. Todas los teoremas se deducen a partir del concepto de medida que se deriva de los triángulos rectángulos.

De forma análoga, la geometría proyectiva se basa en otro importante teorema, el teorema de Thales, que en lugar de un concepto métrico establece la noción de relación de medidas, como invariante proyectivo.

Concepto de ternas de elementos

Tres elementos pertenecientes a una forma de primera categoría determinan una terna.

En el caso de usar los elementos puntos, entonces diremos que tres puntos determinan una terna ordenada de puntos.

Los elementos pueden ser tanto puntos como rectas o planos, incluso se podrían generar ternas de hiperelementos en geometrías más complejas.

Para representarlo simbólicamente usamos la siguiente notación:

• Terna de puntos: (ABC)


• Terna de rectas: (abc)


• Terna de planos: (αβγ)

La terna tiene un valor numérico o característica asociado que implica la ordenación de los términos que la forman.

• (ABC) = AB/AC = λ. [Ec. 1]


• (abc) = sen(ab)/sen(ac) = λ. [Ec. 2]


• (αβγ) = sen(αβ)/sen(αγ) = λ. [Ec. 3]

Ternas ordenadas de puntos

Se define el valor de una terna ordenada de tres puntos como el cociente entre dos longitudes, la del segmento formado por el primer y segundo punto de la terna y el segmento formado por el primer y el tercer punto:

[caption id="attachment_11482" align="aligncenter" width="169" caption="Ec. 1"]Ecuacion ternas puntos[/caption]

Los segmentos pueden tener signo. El sentido del segmento AB es contrario al del BA, o lo que es lo mismo, AB = - BA

Conceptualmente se puede entender una terna como la medida de un segmento tomando como unidad el otro.

Por ejemplo, si B es el punto medio del segmento AC, la terna (ABC) = 1/2. El segmento AC actúa como unidad de medida.

Ternas ordenadas de rectas

Se define el valor de la terna ordenada de tres rectas como el cociente entre dos senos, el del ángulo formado por las dos primeras rectas y el que determina la primera y tercer recta:[Ec. 2]

[caption id="attachment_11483" align="aligncenter" width="190" caption="Ec.-2"]Ternas ordenadas de rectas[/caption]

Tres rectas de un haz de vértice V, y los tres puntos de una serie sección del haz por una recta se pueden relacionar mediante los valores de sus ternas.
Este valor o característica de la terna es un elemento fundamental para clasificar las proyecciones, de forma que aquellas en que es invariante gozan de propiedades comunes e independientes del tipo de proyección.

[caption id="attachment_11277" align="aligncenter" width="319" caption="Figura 2.- Relacion entre ternas de puntos y rectas"][/caption]

Al proyectar ortogonalmente los puntos B y C de la rerie rectilínea sobre la recta a de la Fig.1, se obtienen los puntos B’ y C’. Los triángulos ABB’ y ACC’ son semejantes por lo que, aplicando las relaciones según el teorema de Thales:

(abc) = sen(ab)/sen(ac) = λ [Ec. 2]

El valor del seno del ángulo que forman las rectas a y b así como el formado por las rectas a y c será:

[caption id="attachment_13051" align="aligncenter" width="414" caption="Ecuaciones de ángulos entre rectas"][/caption]

Si se sustituyen estos últimos valores en la [Ec. 2] tendremos:

[caption id="attachment_13052" align="aligncenter" width="394" caption="ecuación 6. Relación entre ternas de puntos y rectas"][/caption]

Por tanto, en general, (ABC) ≠ (abc), el valor de una terna de rectas es diferente del de una terna de puntos que la secciona.

Si seccionamos un haz de rectas por dos rectas no paralelas, las series determinadas son perspectivas entre sí, aunque las ternas de puntos no tienen la misma característica.

Un ejemplo es la proyección cónica desde un punto V.

[caption id="attachment_11276" align="aligncenter" width="360" caption="Fig.-3 Perspectividad entre series"][/caption]

Para que sean iguales las dos ternas es necesario que el cociente VC/VB sea igual a la unidad. Esto se consigue cuando el vèrtice es un punto impropio, o cuando las rectas que seccionan son paralelas.
Esto permite obtener interesantes propiedades en las proyecciones de naturaleza cilíndrica (vértice impropio) y en las proyecciones y, o, secciones por rectas o planos.

Conservación de la razón simple

Cuando el vértice V del haz de rectas se encuentra en el infinito, el término VC/VB de la [Ec. 6] tiende a la unidad, por lo que la terna de puntos tiene igual valor que la terna de rectas.

[caption id="attachment_13054" align="alignleft" width="121" caption="Fig.-4 Conservación de la razón simple en secciones por rectas paralelas"][/caption] Al seccionar tres rectas de un haz de vértice impropio (rectas paralelas a, b y c en la figura ), las diferentes ternas de puntos resultados de la sección tienen por tanto un mismo valor o característica. Este caso se corresponde con las proyecciones conocidas como proyecciones cilíndricas, en las que se proyecta según una dirección ortogonal u oblícua respecto del plano de proyección, o plano del dibujo.

[caption id="attachment_13055" align="alignleft" width="205" caption="Fig.- 5 Conservación razón simple en secciones por rectas paralelas"][/caption] Al seccionar tres rectas de un haz de vértice propio (rectas paralelas a, b y c en la figura ), las diferentes ternas de puntos resultados de la sección tienen por tanto un mismo valor. Este caso se corresponde con las proyecciones cónicas sobre planos o rectas que sean paralelos y en las homotecias.

Conservación de la razón simple en Proyecciones cilíndricas:

El modelo proyectivo puede ser de gran utilidad en el estudio de los sistemas de representación. Para obtener las diferentes representaciones se proyectan los elementos sobre un plano de proyección.

Este proceso implica el uso de las dos operaciones proyectivas:

• Proyectamos un punto


• Seccionamos el rayo resultante por el plano de proyección.

Podemos utilizar los términos proyectivos por ejemplo para definir el concepto de proyección de un elemento.

• Proyectar un punto desde otro es definir la recta que pertenece a ambos elementos (Serie rectilínea)


• Proyectar una recta desde un punto es definir el plano que pertenece a ambos elementos (Haz de rectas)


• Proyectar un plano desde un punto es definir el conjunto de rectas/planos que pertenece al punto y a los puntos/rectas del plano (Radiación de rectas/planos)

Al proyectar los elementos, el centro de proyección puede ser:

• Propio


• Impropio

En el caso de una proyección con centro impropio (o también denominada proyección cilíndrica), se conserva la razón simple en las ternas de rayos proyectantes.

(AMB) = (A’M’B’)

[caption id="attachment_13056" align="alignleft" width="171" caption="Fig.- 7 Proyección del punto medio de un segmento en proyección cilíndrica."][/caption]

La proyección del punto medio, por tanto, se corresponde con el punto medio de la proyección.

Este resultado es de gran utilidad en numerosos problemas en que la relación entre sus partes, su geometría, es conocida.

Por ejemplo la obtención de la proyección del baricentro de un triángulo se puede limitar de nuevo a localizar el baricentro del triángulo proyectado.

 
[caption id="attachment_13573" align="aligncenter" width="400" caption="Sistemas_de_representacion"][/caption]

Geometría Proyectiva

Geometría métrica y proyectiva : Teorema de Thales

Uno de los teoremas más importantes de la geometría métrica es el enunciado por Thales de Mileto. Junto con el teorema de Pitágoras establecen las bases fundamentales de la axiomática de las geometrías métrica y proyectiva.

[caption id="attachment_11546" align="alignleft" width="163"] Tales de Mileto[/caption]

Tales de Mileto (en griego Θαλῆς ὁ Μιλήσιος) (ca. 630 - 545 a. C ) fue el iniciador de la indagación racional sobre el universo. Se le considera el primer filósofo de la historia de la filosofía occidental, y fue el fundador de la escuela jónica de filosofía, según el testimonio de Aristóteles. Fue el primero y más famoso de los Siete Sabios de Grecia (el sabio astrónomo), y habría tenido, según una tradición antigua no muy segura, como discípulo y protegido a Pitágoras.

Fue además uno de los más grandes matemáticos de su época, centrándose sus principales aportaciones en los fundamentos de la geometría.(W)

Enunciado del primer Teorema de Thales

El teorema de Thales establece la noción de semejanza entre dos triángulos relacionando la longitud de dos de sus lados. Permite definir un invariante proyectivo de aplicación a los sistemas de proyección cilíndricos: La razón simple.

Si cortamos dos rectas cualesquiera por varias rectas paralelas,los segmentos correspondientes en ambas son proporcionales,es decir, se corresponden en la igualdad ,en la suma y en la resta.

[caption id="attachment_11561" align="aligncenter" width="378"] Teorema de Thales[/caption]

Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.(W)

El teorema establece las siguientes igualdades entre los cocientes de dos lados homólogos en dos triángulos semejantes:

• m/n = m’/n’


• m/n = (m+m’)/(n+n’)


• n/p = (n+n’)/p’

Aplicaciones: Escalas

El concepto de semejanza se asocia con el de escala. Dos formas semejantes (igual forma pero diferente tamaño) sólo varían en la escala de su representación.

La escala es la relación matemática que existe entre las dimensiones reales y las del dibujo que representa la realidad sobre un plano o un mapa.(W)

Escala = Medida lineal en el Dibujo/Medida lineal del objeto real

E= D / R

Por ejemplo, la escala  E = 3/4 indica que de 4 unidades de medida del objeto real, tomamos 3 en el dibujo.

Elementos que forman una escala gráfica.

Una escala se construye sobre un soporte rectilíneo. Cada parte numerada se denomina módulo. La parte que se encuentra a la izquierda del cero se llama contraescala.

[caption id="attachment_11562" align="aligncenter" width="567"] Elementos de una escala[/caption]

Construcción de Escalas

Como ejemplo de aplicación supongamos que queremos construir la escala 7/9.

Usaremos un soporte rectilíneo de longitud 7 unidades que representará las medidas del dibujo y una recta auxiliar de longitud nueve unidades unida por un extremo a la anterior que representará la medida de la realidad.

Uniremos los dos extremos libres de ambas rectas e iremos trazando paralelas a esta última recta por cada una de las unidades de la recta auxiliar.

[caption id="attachment_11563" align="aligncenter" width="546"] Ejemplo de construcción de la escala 7/9[/caption]

Ejercícios

Los siguientes ejercicios permiten profundizar y asentar los conceptos tratados que serán fundamentales para, posteriormente, entender los invariantes proyectivos que usaremos en los sistemas de representación.

 

1-.División de un segmento s = AB en partes proporcionales a otros a, b, c .

 



 

2-.Si a/b= c/x, hallar el segmento x ,cuarta proporcional de tres segmentos a, b, c dados.

 



 

3-.Si a/b = b/x. Hallar el segmento x ,tercera  proporcional de dos segmentos a, b dados.

 



 

4-.Hallar dos segmentos x é y, conocidas su suma s y su diferencia d.

 



 



 

5-.En la figura adjunta se cumple:

Indicar si la relación es verdadera (V) o falsa (F) en cada caso

 

• V  F  AD . AE = AB . BC


• V  F  AD / BC = AB / DE


• V  F  AB . DE = AD . BC

 



 

6-.En la figura adjunta se cumple:

Indicar si la relación es verdadera (V) o falsa (F) en cada caso

• V  F  MN / NR = QP . QR


• V  F  MN . QR = MR . QP


• V  F  PR / RN = QR / RM

 



 

7.- Dado un segmento m, determinar dos segmentos p y q sabiendo que:

• m = q + p


• p/q =2/3

 



 

8.- Dado un segmento m, determinar dos segmentos p y q sabiendo que:

• m = q - p


• p/q =2/3

[caption id="attachment_13573" align="aligncenter" width="400"] Sistemas_de_representacion[/caption]

Geometría métrica

Geometría Proyectiva

Categorías de las formas geométricas y operaciones proyectivas

Categoría de las formas geométricas

Las formas geométricas se clasifican en categorías.

Desde un punto de vista paramétrico, la categoría de una forma geométrica indica el número de variables o datos necesarios para referenciar a un elemento de la misma.

Por ejemplo, en la forma geométrica “Plano punteado” (forma geométrica que contiene a los infinitos puntos que pertenecen a un mismo plano o base) son necesarias dos coordenadas para identificar a cada uno de sus puntos; diremos que el plano punteado es una forma de segunda categoría.

La serie rectilínea, el haz de rectas y el haz de planos son formas de primera categoría.

Las formas de segunda categoría son el plano punteado (o de puntos), el plano radiado (de rectas) así como la radiación de rectas (rectas que pasan por un punto dado del espacio R3) y la radiación de planos (planos que pasan por un punto).

Las formas de tercera categoría son el espacio de puntos (puntos de R3) o el de planos.

Operaciones proyectivas

Dos son las operaciones proyectivas. Son los operadores de nuestro modelo geométrico proyectivo.

• Proyección


• Sección

Proyectar desde un punto R una serie rectilínea de base b es generar un haz de rectas de vértice dicho punto. La forma geométrica que contiene a estos elementos tiene por base un plano.

Seccionar por una recta r un haz de rectas de vértice V es generar una serie de puntos de base dicha recta. La forma geométrica que contiene a estos elementos tiene por base un plano.

Las formas geométricas que resultan de seccionar por una recta o proyectar desde un punto otra forma geométrica se denominan “Formas perspectivas”.

Este concepto se generaliza igualmente para el elemento “plano”.

[caption id="attachment_11147" align="aligncenter" width="334" caption="Perspectividad entre formas de primera categoría."][/caption]

La perspectividad es deseable porque establece una relación sencilla entre los elementos geométricos (puntos y rectas o planos) de las correspondientes formas.

En la Figura la serie de base r, es perspectiva del haz de rectas de vértice R. A cada punto de la recta r le corresponde una recta del haz y viceversa.

[caption id="attachment_13573" align="aligncenter" width="400" caption="Sistemas_de_representacion"][/caption]

Geometría Proyectiva

Fundamentos proyectivos: Elementos y Formas geométricas

Fundamentos proyectivos

Un sistema lógico axiomático parte de la definición de un reducido número de elementos básicos que se relacionan mediante un conjunto de reglas. La aplicación de estas reglas permite inferir propiedades o teoremas que a su vez son útiles para generar nuevas propiedades.

Se genera de esta forma un conjunto amplio de relaciones a partir de unas definiciones básicas (elementos) y un limitado número de reglas (axiomas).

Las reglas de inferencia son las operaciones proyectivas que relacionan a los elementos.

Los elementos básicos de la geometría clásica son los puntos, las rectas y los planos. Es posible definir nuevas geometrías con otros elementos básicos y diferentes operaciones y axiomas.

Estos elementos son los números de la geometría, y pueden ser usados, junto con las transformaciones gráficas como operadores, para idealizar y describir los modelos de la realidad.

Los elementos pueden pertenecer a un espacio unidimensional, bidimensional, tridimensional ...

Las figuras geométricas se forman a partir de los elementos básicos, por lo que interesa el estudio de sus posibles relaciones. En particular el enfoque basado en los invariantes conduce a un modelo de pensamiento que agrupa los conceptos en función de su independencia en la aplicación a la resolución de los problemas.

La razón simple y la razón doble, como se verá más adelante, permiten establecer nuevos modelos de solución en problemas que se han tratado normalmente desde una perspectiva pitagórica, en la que las medidas absolutas de las distancias, y no tanto sus relaciones con otras, constituyen el elemento argumental.

Al operar con estos elementos, los restantes deben considerarse agrupaciones de los primeros. Por ejemplo, si el elemento base es el punto, la recta y el plano deben reducirse a conjuntos de puntos; la recta debe entenderse como un conjunto de infinitos puntos que se pueden determinar con un simple parámetro o coordenada respecto de un punto origen,; el plano como un conjunto de infinitos puntos determinados mediante dos parámetros de un sistema de coordenadas.

[caption id="" align="aligncenter" width="320" caption="El lenguaje geométrico"][/caption]

Esta forma de relacionar los elementos permite generalizar los teoremas obtenidos para un elemento dado, al resto de elementos.

La ley de dualidad recoge esta idea aportando un mecanismo semántico para este fin. Un simple cambio de palabras en un teorema sobre rectas, puede convertirse en otro para planos o para puntos simplificando mediante abstracción lógica la estructura geométrica.

Elementos y Formas geométricas

Los elementos geométricos se pueden estructurar en grupos que los contienen y que se denominan formas geométricas.

Por ejemplo, los elementos (puntos) del espacio tridimensional R³ que distan una longitud constante de otro dado determinan la forma geométrica denominada esfera. Los que equidistan de una recta determinarían un cilindro o superficie cilíndrica de revolución, y los que se encuentran a igual distancia de un plano formaran dos nuevos planos paralelos al anterior, etc.

Se puede utilizar una semántica que generaliza los conceptos independientemente de la naturaleza de los elementos básicos constitutivos. Obsérvese la “forma dual” en que se presentan los siguientes enunciados.

Una línea puede ser entendida como un elemento geométrico básico o como un conjunto de infinitos puntos.En este segundo caso diremos que la recta es la base de la forma geométrica denominada “Serie rectilínea”.

Un punto puede ser entendido como un elemento geométrico básico o como la intersección de infinitas rectas.En este segundo caso diremos que el punto es el vértice (base) de la forma geométrica denominada “Haz de rectas”.

 

La “Serie rectilínea”, “Haz de rectas” y el “Haz de planos” son las formas geométricas más básicas. Sus elementos son puntos, rectas y planos respectivamente.

Serie rectilínea La forman los infinitos puntos de una recta.
Haz de rectas Lo forman las infinitos rectas de igual vértice.
Haz de planos Los forman los infinitos planos que comparten una recta

Tabla 1 Formas de primera categoría

[caption id="attachment_13573" align="aligncenter" width="400" caption="Sistemas_de_representacion"][/caption]

Geometría Proyectiva