Los conceptos de potencia de un punto respecto de una circunferencia permiten abordar los problemas con un enfoque unificador, de forma que cualquier enunciado de tangencias o incidencias en general se puede reducir a uno más genérico que denominaremos problema fundamental de tangencias (PFT).
El PFT puede enunciarse como el problema de determinación de una circunferencia que pasa por dos puntos y es tangente a una recta o bien a otra circunferencia.
Un mayor grado de abstracción permitiría sustituir los puntos de paso por una condición de pertenencia a un haz, aunque este enfoque lo dejaremos pendiente para más adelante.
Resolveremos el primer caso de estudio enunciando el problema como:
Determinar las circunferencias que pasan por los puntos A y B y son tangentes a la recta r
[caption id="attachment_13882" align="aligncenter" width="431" caption="Datos para definir el Problema fundamental de tangencias"]
[/caption]Análisis del problema fundamental de tangencias
En la figura de análisis se aprecia que la circunferencia c de centro C puede ser una de las soluciones del problema ya que pasa por los puntos A y B y es tangente a la recta r. En esta figura ,en la que representamos la circunferencia solución que estamos buscando, podemos determinar propiedades que servirán para deducir una construcción que nos permita determinarla.
[caption id="attachment_13884" align="aligncenter" width="490" caption="Fundamentos del problema fundamental de tangencias PFT"]
[/caption]La recta que pasa por los puntos A y B corta a la recta r en un punto P. La potencia de este punto respecto de la circunferencia es:
[caption id="attachment_13885" align="aligncenter" width="117" caption="Potencia de un punto"]
[/caption]De la expresión anterior deducimos que si obtenemos el valor del segmento PT (raiz de la potencia) podemos obtener el punto T de tangencia y el problema se reduce a determinar la circunferencia que pasa por tres puntos: A, B y T (su centro estará en la intersección de dos mediatrices).
Resolución del problema.
Determinaremos el valor de la potencia por medio de una de las construciones usadas para resolver medias proporcionales:
Como la potencia del punto P respecto de cualquier circunferencia que pase por los puntos A y B es la misma, podemos utilizar una circunferencia auxiliar de cualquier radio que pase por estos puntos, como la representada en la figura de centro O1, situado en la mediatriz de A y B.
El valor de la potencia lo determinaremos obteniendo el segmento de tangencia desde P a esta circunferencia auxiliar; para ello, construiremos un arco capaz de 90 grados sobre el segmento PO1
[caption id="attachment_13887" align="aligncenter" width="313" caption="Resolucion problema fundamental de tangencias"]
[/caption]El valor del segmento de tangencia ( P-T1) lo llevaremos sobre la recta r para determinar el punto T de tangencia mediante un simple giro de centro en P.
[caption id="attachment_13891" align="aligncenter" width="352" caption="Solución del PFT"]
[/caption]Número de soluciones
Dependiendo de la dirección en que llevemos el segmento PT obtendremos una u otra de las dos posibles soluciones al problema.
[caption id="attachment_13889" align="aligncenter" width="209" caption="Dos soluciones"]
[/caption]
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