Geometría métrica : Problema fundamental de tangencias : PPc [II]

El denominado problema fundamental de tangencias puede presentarse con condiciones de tangencia respecto de una circunferencia, en lugar de recta.

Conceptualmente podemos suponer que el anterior es un caso particular de éste, si consideramos a la recta como una circunferencia de radio infinito.

En ambos casos aplicaremos por lo tanto un razonamiento similar para su resolución, basándonos en los conceptos aprendidos de potencia.

Resolveremos el segundo caso de estudio enunciando el problema como:

Determinar las circunferencias que pasan por los puntos A y B y son tangentes a la circunferencia c

[caption id="attachment_13901" align="aligncenter" width="379" caption="Enunciado del problema fundamental de tangencias"][/caption]

 

Análisis del problema fundamental de tangencias

En la figura de análisis se aprecia que la circunferencia s puede ser una de las soluciones del problema ya que pasa por los puntos A y B y es tangente a la circunferencia c. En esta figura ,en la que representamos la circunferencia solución que estamos buscando, podemos determinar propiedades que servirán para deducir una construcción que nos permita determinarla.

Se ha representado también otra circunferencia auxiliar (línea de trazos) que pasa por los puntos A y B y que corta a c en los puntos C y D.

[caption id="attachment_13903" align="aligncenter" width="366" caption="Análisis del problema fundamental de tangencias"][/caption]

Las rectas A-B y C-D se cortan en un punto P que es el centro radical de las tres circunferencias y por lo tanto tiene igual potencia respecto de ellas, esto se puede expresar como:

[caption id="attachment_13905" align="aligncenter" width="175" caption="Potencia del centro radical"][/caption]

De la expresión anterior deducimos que si obtenemos el valor del segmento PT (raiz de la potencia) podemos obtener el punto T de tangencia entre c y s y el problema se reduce a determinar la circunferencia que pasa por tres puntos: A, B y T (su centro estará en la intersección de dos mediatrices).

Resolución del problema.

Determinaremos el valor de la potencia por medio de una de las construciones usadas para resolver medias proporcionales:

• Teorema de la altura


• Teorema del cateto


• Potencia

Como la potencia del punto P respecto de cualquier circunferencia que pase por los puntos A y B es la misma, podemos utilizar una circunferencia auxiliar de cualquier radio que pase por estos puntos, como la representada en la figura de centro O1, situado en la mediatriz de A y B.

El valor de la potencia lo determinaremos obteniendo el segmento de tangencia desde P a esta circunferencia auxiliar; para ello, construiremos un arco capaz de 90 grados sobre el segmento PO1

[caption id="attachment_13906" align="aligncenter" width="339" caption="Resolución del problema fundamental de tangencias"][/caption]

El valor del segmento de tangencia ( P-T1) lo llevaremos sobre la circunferencia c para determinar el punto Ta de tangencia mediante un simple giro de centro en P.

[caption id="attachment_13909" align="aligncenter" width="344" caption="Solución del problema fundamental de tangencias"][/caption]

Número de soluciones

Dependiendo de la dirección (lado de la circunferencia c) en que situemos el segmento PT obtendremos una u otra de las dos posibles soluciones al problema.

[caption id="attachment_13908" align="aligncenter" width="393" caption="Número de soluciones del problema fundamental de tangencias"][/caption]

Geometría métrica