Geometría métrica : Obtención del Eje radical de dos circunferencias

El eje radical de dos circunferencias es ellugar geométrico de los puntos de un plano que tienen igual potencia respecto de dos circunferencias.

Es una recta que tiene dirección perpendicular a la línea de centros de las circunferencias. Para determinar dicho eje será necesario por lo tanto conocer un único punto de paso.

Veremos cómo determinar el eje radical de dos circunferencias en los diferentes casos que podemos encontrarnos, que analizaremos en función de las posiciones relativas de las dos circunferencias.

Circunferencias secantes

Si las circunferencias son secantes conoceremos dos puntos de potencia nula, los de intersección de ambas circunferencias.

En este caso el eje radical lo obtendremos mediante la secante común a dichas circunferencias

Circunferencias tangentes

Al igual que en el caso anterior, existe un punto de potencia nula que se corresponde con el de tangencia de las dos circunferencias.

 

El eje radical pasará por este punto y tendrá la dirección perpendicular a la línea de centros y por lo tanto coincidirá con la recta tangente común a ambas circunferencias.

Circunferencias que no se cortan

Como conocemos la dirección del eje, quedará determinado en cuanto obtengamos un punto de paso.

Este punto lo determinaremos mediante el uso de una circunferencia auxiliar que corte a las dos circunferencias, que nos permitirá obtener el centro radical de las tres (punto de igual potencia)

Como caso particular de interés, podemos ver el caso en que las circunferencias sean de gran radio.

En este caso se calcula como en el anterior, por medio de una circunferencia auxiliar (en línea discontinua en la figura) que determina un punto "O" de igual potencia respecto de las dos circunferencias, ya que:

OA * OA' = OB*OB'

Este punto junto con el de intersección de las dos circunferencias, si lo hubiera, determinaría el eje. En otro caso, podríamos repetir esta construcción para determinar un segundo punto de paso.

También puede ser interesante generalizar estos conceptos en el caso de circunferencias de radio nulo (puntos) o infinito (rectas) y en otras posiciones particulares:

• ¿Eje radical de dos circunferencias concéntricas?


• ¿Eje radical de punto y circunferencia?


• ¿Eje radical de punto y recta?


• ¿Eje radical de dos puntos?

Geometría Métrica

El problema del campo de fútbol

Un curioso problema, que suelo proponer en clase a mis alumnos, en el que podemos utilizar los conocimientos geométricos aprendidos al estudiar el concepto de potencia, es el de determinar la posición óptima de disparo a una portería de fútbol desde una trayectoria dada.

Podemos suponer que el jugador que realiza el disparo tiene suficiente potencia para poder realizarlo desde cualquiera de los puntos de su trayectoria, siendo por tanto el más adecuado aquél que le ofrezca mayor ángulo de visualización de la portería como veremos a continuación.

Para simplificar el enunciado, sin restar generalidad al problema, supondremos que el jugador se encuentra en un punto P del campo y corre paralelo a la banda (según la dirección d). La portería quedará determinada por el segmento AB.

La posición del jugador le permitirá ver a la portería bajo un cierto ángulo "alfa". Nuestro problema será por lo tanto encontrar un nuevo punto de la trayectoria "d" desde el que este ángulo sea máximo.

Al repasar los conceptos de "arco capaz" sobre un segmento, podemos concluir que éste punto será aquél que pertenezca a una circunferencia que pase por los puntos A y B, que a la vez sea tangente a la recta d para que su diámetro sea mínimo.

Este planteamiento nos lleva a resolver el "Problema fundamental de tangencias" en el caso de dos puntos y una recta, que solucionábamos mediante los conceptos de potencia de un punto respecto a una circunferencia.

La recta AB será el eje radical de todas las circunferencias que pasan por dichos puntos, mientras que la recta "d" lo será de todas las que son tangentes a esta recta. El punto Cr de intersección de ambas rectas tendrá igual potencia respecto de las que pasan por A y B, y las tangentes a "d", por lo que podremos determinar este valor de potencia que será la distancia al punto solución.

En la figura se ha resuelto con una circunferencia auxiliar de diámetro AB. La potencia desde Cr será igual al cuadrado del segmento de tangencia que pasará por el punto T. El punto solución, S, distará esta longitud a Cr.

Geometría Métrica

Geometría métrica : Eje radical de dos circunferencias

Los lugares geométricos sirven para determinar la solución de problemas con restricciones geométricos.

Entre las condiciones más utilizadas se encuentran las de naturaleza angular y dentro de éstas las de ortogonalidad.

Dadas dos circunferencias coplanarias, el conjunto simplemente infinito de circunferencias que las cortan ortogonalmente se agrupan en un conjunto denominado haz de circunferencias corradicales; estas circunferencias tienen su centro en una recta denominada eje radical.

El eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos del plano

• que son centros de circunferencias ortogonales a dichas circunferencias


• que tienen igual potencia respecto a dichas circunferencias


• desde los cuales se pueden trazar segmentos tangentes de igual longitud a las circunferencias

Para determinar este lugar geométrico, eje radical, nos apoyaremos en una figura de análisis compuesta por dos circunferencias que son cortadas ortogonalmente por la buscada.

Vemos en los triángulos rectángulos que se cumple, aplicando pitágoras, las siguientes relaciones:



de donde podemos obtener



que como hemos visto al estudiar el lugar geométrico de la diferencia de cuadrados de distancias a dos puntos fijos, es una recta. Esta recta se denomina eje radical de las dos circunferencias.

Centro radical de tres circunferencias

Vemos que al imponer dos restricciones de ortogonalidad se determina un lugar geométrico para los centros de las soluciones que lo cumplen. Si introducimos una tercera condición obtendremos una solución única que podemos obtener mediante intersección de los lugares geométricos referidos.

El Centro radical CR de tres circunferencias coplanarias es un punto de su plano:

• es intersección de los tres ejes radicales de las circunferencias


• tiene igual potencia respecto a dichas circunferencias


• es centro de la circunferencia ortogonal a dichas circunferencias


• desde el  cual se pueden trazar segmentos tangentes de igual longitud a las tres circunferencias

El centro radical se puede obtener mediante la intersección de dos ejes radicales

[caption id="attachment_13726" align="aligncenter" width="475"] Centro radical de tres circunferencias[/caption]

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