Las rectas paralelas se cortan en el infinito, ¿mito o realidad?

Uno de los conceptos que más cuesta asimilar en las primeras clases de geometría proyectiva es el de punto impropio. Un punto impropio es un punto que se encuentra en el infinito y que podemos traducir o interpretar como una dirección.

Mientras en la geometría métrica dos rectas se cortan o son paralelas, en la geometría proyectiva siempre se cortan en un punto propio o impropio, lo que no cambia en ningún caso la operatividad con este modelo geometrico-matemático.

Mis alumnos han querido destacar este aspecto en sus trabajos y, en la experiencia de innovación educativa en la que desarrollamos en blogs la asignatura, nos ofrecieron este curioso artículo. El grupo "Proyectando-ando" hizo gala a su nombre:

Las rectas paralelas se cortan en el infinito, ¿mito o realidad?

Siempre hemos escuchado que dos rectas paralelas son aquellas que por mucho que se prolonguen nunca llegan a cortarse, pero también conocemos el concepto de que dos rectas paralelas se cortan en el infinito. ¿Cual de estas dos afirmaciones es verdadera? A continuación intentaremos dar respuesta al dilema ante el que nos encontramos.

[caption id="attachment_16692" align="aligncenter" width="320"] ¿ Rectas paralelas ?[/caption]

Euclides fue un matemático y geómetra griego, que vivió alrededor del 300 a.C. Se le conoce como "El Padre de la Geometría" y fue el creador de la geometría que lleva su propio nombre.

La geometría euclidiana es aquella que estudia las propiedades del plano y el espacio tridimensional. La presentación de ésta se hace mediante un sistema de axiomas que, a partir de un cierto número de postulados que se presumen verdaderos y a través de operaciones lógicas, genera nuevos postulados cuyo valor de verdad es también positivo. Euclides planteó cinco postulados en su sistema:

1.  Dados dos puntos se puede trazar una y sólo una recta que los une.


2. Cualquier segmento puede prolongarse de forma continua en cualquier sentido.


3. Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio.


4. Todos los ángulos rectos son iguales.


5. Si una recta, al cortar a otras dos, forma ángulos internos menores a un ángulo recto, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

Este último postulado, que es conocido como el postulado de las paralelas, fue reformulado como:

5. Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta dada.

Euclides asumió que todos sus postulados o axiomas eran auto-evidentes y por tanto hechos que no requerían demostración. Sin embargo, el quinto postulado resultó que si bien es compatible con los otro cuatro, es en cierto modo independiente. Es decir, tanto el quinto postulado como la negación del quinto postulado, son compatibles con los otros cuatro postulados. Las geometrías donde el quinto postulado no es válido se llaman geometrías no-euclidianas.

En el Renacimiento las nuevas necesidades de representación del arte y de la técnica empujan a ciertos humanistas a estudiar propiedades geométricas. Al descubrir la perspectiva y la sección, crean la necesidad de sentar las bases formales en la que cimentar las nuevas formas de geometría que ésta implica: la Geometría proyectiva, cuyos principios fundamentales aparecen en el siglo XVII:

•  Dos puntos definen una recta.


• Todo par de rectas se cortan en un punto (cuando dos rectas son paralelas decimos que se cortan en un punto del infinito conocido como punto impropio).

A través de estos dos principios podemos obtener la respuesta a nuestra pregunta. La diferencia que encontramos está en el quinto postulado de Euclides (de las paralelas); que dice: “por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta dada”. Este axioma, en proyectiva acabamos de ver que no existe, de modo que no existen las "paralelas"; todas las rectas son secantes, es decir, se cortan en un punto. Por lo tanto, aparece el concepto de punto impropio (marcado con el subíndice infinito; ya que no lo representamos en un lugar concreto como los demás puntos); que vendría a determinar la "dirección" de la recta. Todas las rectas que -euclideanamente- serían "paralelas", proyectivamente se cortan en un mismo punto impropio y a su vez todos los puntos impropios de un plano determinan una recta impropia, única en ese plano.

A pesar de que lo acabamos de enunciar, a modo de conclusión la respuesta a nuestra pregunta de si las rectas paralelas se cortan en el infinito es la siguiente: LAS RECTAS PARALELAS DESDE EL PUNTO DE VISTA DE LA GEOMETRÍA PROYECTIVA SE CORTAN EN EL INFINITO, PERO BASANDONOS EN LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA LAS RECTAN NO LLEGAN A CORTARSE NUNCA.

 

Geometría Proyectiva

Geometría y origami [ Libro ]

Geometría y origami es un libro de Stella Ricotti publicada por Homo Sapiens que transmite "felicidad" desde el mundo de las matemáticas. Su autora nos conduce al mundo de la geometría "jugando" desde las bases topológicas que subyacen en una hoja de papel.

Un recurso didáctico sin duda de gran valor que se puede introducir en diferentes niveles educativos; permite "tocar" la matemática desde la concreción de los modelos geométricos que expresan su perfección.

El libro ... "pretende constituirse como un aporte a los docentes de Matemática, tanto de escuelas primarias como medias, y a alumnos de profesorado, para que cuenten con una herramienta más para incursionar placenteramente por el mundo de la Geometría y se animen a pensar nuevas situaciones en el espacio tanto bi como tridimensional".

Tras leer una interesante entrevista con esta profesora, no puedo por menos que estar completamente de acuerdo con su visión de la matemática ligada a la geometría:

-¿Es la geometría "la Cenicienta" de la matemática?

-Más que la Cenicienta, es la Bella Durmiente de las matemáticas. Las tendencias en educación matemática de los años '60 y '70 hicieron que la geometría se sustituyera por un mayor cultivo del álgebra. Como consecuencia, los problemas interesantes de la geometría elemental se ausentaron; la carencia de intuición espacial es una consecuencia observable en las personas que se formaron a partir de esos años. Hoy los docentes estamos haciendo grandes esfuerzos para despertar a la Bella; que nos vuelva a sonreir en las aulas con aires renovados, con miras a formar mentes se desempeñen con ductilidad en este siglo en el que lo visual tiene tanta fuerza. (La Capital.com.ar)

Product Details (Amazon) Publisher: HOMOSAPIENS (2010) Language: Spanish ISBN-10: 9508086424 ISBN-13: 978-9508086426

• Origami : Cómo hacer un libro


• Origami: Principios topológicos [TED]

Geometría métrica: Circunferencias con condiciones angulares. Solución al Problema I

De las diferentes soluciones que se pueden dar al problema propuesto de obtención de circunferencias con condiciones angulares ( que pasan por un punto, son tangentes a una circunferencia y forman un ángulo con una recta), vamos a analizar aquella solución que utilice la aplicación de los conceptos de potencia utilizados en el "Problema Fundamental de Tangencias" ( PFT ).

Posteriormente podremos analizar caminos específicos a este problema concreto que pudieran simplificar su trazado o conceptualización geométrica.

En este último sentido cabe destacar que una construcción geométrica dada, un conjunto de líneas, pueden interpretarse de diferentes formas atendiendo al razonamiento abstracto aplicado al problema.

La búsqueda de modelos generalistas puede ser el primer paso formativo de un geómetra.

Sobre la modificación del enunciado del problema

El primer paso, aplicando el método lógico geométrico o metodología de trabajo expuesta, consistirá en cambiar las condiciones geométricas del problema por otras que sean equivalentes.

De forma general, trataremos de imponer condiciones idénticas cuando se trate de restricciones angulares para convertir las restricciones en "isoangularidad". En este caso, cambiaremos la condición de formar un ángulo de 45º con una recta por la de ser tangente a otra, ya que tenemos una condición de tangencia respecto de la circunferencia. Vemos que el enunciado cambiará a:

Determinar una circunferencia que es tangente a una recta y una circunferencia y pasa (es tangente) por un punto.

De forma análoga se podía haber cambiado la condición de tangencia por una angular a 45º, aunque este concepto ahora parezca más complejo y no sea el camino empleado.

[caption id="attachment_15135" align="aligncenter" width="493"] Grafo inicial con los datos del problema[/caption]

Enunciado modificado equivalente

En efecto, si la circunferencia buscada forma un ángulo con la recta r, su tangente t en el punto de contacto debe formar ese ángulo con r, tal y como vimos al definir el ángulo entre recta y circunferencia.

Nuestro problema consistirá por tanto en determinar una circunferencia tangente a otra y a una recta en uno de sus puntos.

[caption id="attachment_15136" align="aligncenter" width="569"] Enunciado modificado con condiciones de isogonalidad (Apolonio)[/caption]

El problema de isogonalidad que queda es una de las variantes del conocido como "Problema de Apolonio" que proponía la determinación de una circunferencia tangente a tres circunferencias dadas.

¿Tres circunferencias? En efecto, el punto de paso puede ser considerado como una circunferencia de radio cero (nulo) y la recta "t" otra de radio infinito. Este tipo de razonamiento permite agrupar por lo tanto este problema en otro más general de forma sencilla, como planteábamos al principio.

Su solución puede por tanto deducirse del modelo general, con la correspondiente generalización, o pueden incluirse simplificaciones debido a la naturaleza de las restricciones.

Planteamiento de la solución particularizada

Las circunferencias tangentes a la recta t en el punto P tendrán su centro en una recta perpendicular a t por el punto P. Determinan un haz parabólico de circunferencias con eje radical la recta t.

La recta s es el lugar geométrico de los centros de circunferencias que son tangentes a la recta r en el punto P.

Por último determinaremos el centro de la circunferencia solución (azul) que completa el problema. Para ello determinaremos la circunferencia que es tangente a la recta t en el punto P y es tangente a su vez a la circunferencia c1,

Si determinamos una circunferencia cualquiera que sea tangente a la recta t en el punto P y que corte a la circunferencia c1 en un par de puntos (A y B), estaremos obteniendo una de las circunferencias del haz parabólico mencionado.

El punto "I" de intersección de la recta A-B y la recta t es el centro radical de las circunferencias tangentes a t y que pasan por A y B, teniendo por tanto igual potencia respecto de todas ellas. Este valor de potencia es la distancia al punto P de tangencia al cuadrado, y permite por tanto determinar el punto T de tangencia en c1.

Faltaría el análisis del número de soluciones al problema genérico de determinar circunferencias que formen un ángulo con la recta, pasen por un punto y sean tangentes a la circunferencia. De las posibles soluciones que vendrán siempre en parejas, deberemos elegir aquella que se adapte al croquis determinado en el enunciado.

En general, en un problema de tangencias respecto de tres circunferencias, (problema de Apolonio), tendremos hasta 8 soluciones. En este caso se limitan a dos al degenerar una circunferencia en recta y otra en un punto.

¿Puedes resolver este ejercicio con otro modelo diferente? Mejor que hacer muchos ejercicios iguales, planteate resolver el mismo de muchas formas diferentes !!!

Los conceptos de inversión son de especial aplicación en estos problemas, como se ha visto en la "Aplicación a la resolución de problemas de tangencias y angulares"

Geometría métrica

Geometría métrica: Circunferencias con condiciones angulares. Problema I

Los problemas geométricos se pueden abordar con diferentes estrategias para simplificar su análisis y resolución. Normalmente podemos encajarlos en familias estructuradas de problemas además de encontrar soluciones específicas que se adapten a cada problema en particular.

Veamos un problema básico de geometría "vestido" o "adaptado" a una aplicación tecnológica, en particular supongamos que para la definición de una pieza necesitamos unas condiciones geométricas dadas por restricciones angulares.

Enunciado del problema

Completar el diseño de la pieza representada en el croquis sabiendo que la circunferencia c es tangente a c1, pasa por el punto P y corta con un ángulo de 45º a la recta r.

[caption id="attachment_15122" align="aligncenter" width="366"] Croquis para el enunciado gráfico del problema geométrico[/caption]

Datos del problema

Para resolver el problema se nos facilitarán parte de los datos de forma gráfica. Así, en este caso, tendríamos:

[caption id="attachment_15123" align="aligncenter" width="493"] Enunciado problema geométrico[/caption]

Las circunferencias concéntricas con c1 no son relevantes y podemos prescindir de ellas.

Del análisis del enunciado y de los datos gráficos vemos que debemos completar la figura determinando una circunferencia que cumple tres restricciones geométricas:

• Pasa (o pertenece) por el punto P


• Forma un ángulo (45) con la recta r


• Es tangente a la circunferencia c1.

Vemos que la circunferencia que debemos determinar se encuentra restringida por un número de condiciones idéntico al número de datos necesarios para su definición (dos del centro y uno del radio), y que ademas estos datos no son redundantes (combinación lineal) y por tanto son independientes entre sí, por lo que esta circunferencia se encuentra paramétricamente determinada o, lo que es lo mismo, el problema está correctamente propuesto.

Se deja al lector un primer análisis del problema.

Se sugiere tratar de convertir las condiciones angulares en condiciones de isogonalidad (igual ángulo) en particular de tangencias para tratar de reducir el problema al que hemos denominado "Problema Fundamental de Tangencias".

Puedes consultar la solución aquí

Apuesta geométrica [ Alumnos ]

Recuperando algunos artículos de mis alumnos, que pudieran desaparecer al borrar sus blogs de la experiencia de innovación educativa, he visto este del grupo pi-tágoras que une los polígonos y lo lúdico de forma muy acertada.

El enfoque educativo en forma de competición es un valioso recurso que no tiene que hacer perder la rigurosidad en los planteamientos formativos. Al contrario, permite explorar el conocimiento de forma crítica y a la par entretenida. Este grupo de alumnos ha acertado en su enfoque, que ya citamos en su día.

Empezamos un nuevo curso y qué mejor manera de hacerlo que aprender de nuestros alumnos

Apuesta geométrica

El otro día, estando en el lugar más propicio para el intercambio libre de ideas, vamos, en lo que viene siendo el bar, se propuso el siguiente juego, que proponemos a todos los lectores.

• Un señor, bastante mayor, por cierto, nos dió, diez monedas de un euro, y nos dijo: -Si sois capaces de hacer con esas diez monedas, cinco filas de cuatro monedas cada fila, no solo os dare los 10 euros, si no que además os invito a lo que queráis ahora mismo-.

Pobres de nosotros, felices pensando: "bah, estudiantes como nosotros, lo sacamos fijo".El caso, pasó una hora y no sacamos nada en claro.

• Seguros de nuestras capacidades y con cara de indignación, miramos a aquel señor y le dijimos: -Esto es imposible- a lo que el contestó: -Cierto se me olvidaba deciros que una moneda puede pertenecer a varias filas, eso si, no me hagaís una fila de diez monedas y me la subdividais-.

Ahora si es nuestro pensamos. Pobres de nosotros, otra vez. El partido concluyó (que si, que fuimos a ver el partido) y el señor anunció que se marchaba, llevandose las monedas y la solución. Horas más tarde, y ya en casa, se paseó, por la mente de algunos la solución. Una solución geométrica (¡que casualidad!).

Querido lector, si quiere pensar la solución, le recomendamos que no pase de estas líneas por que sera aquí donde se exponga (y donde por fin empecemos a hablar de dibujo, que ya esta bueno...).

-----------------------------------------------------------------------------------------

Como tantas veces hemos hecho en la clase de dibujo, debemos simplificar el problema que se nos pide resolver, en uno mucho más sencillo.

En este caso ocurre lo mismo, y para el análisis y resolución de este problema seguiremos un procedimiento análogo.

Trataremos las monedas como puntos, y las filas no seran otra cosa que segmentos determinados por esos puntos. Así se nos pide determinar cinco segmentos conocidos diez puntos, y que cada segmento este formado por cuatro puntos, es decir, cada punto será común a dos segmentos.

Obviamente, y como ya hemos indicado, esto no es general para cualesquiera diez puntos, si no que el problema reside en encontrar la posición específica en la que esto se cumple. Comencemos ahora el análisis de este interesante problema.

Si seleccionamos 10 puntos en el plano, no alineados estoy seguro de que a la mayoría de las personas les viene a la mente la idea de un polígono, un polígono de diez lados.

Cuando nos piden hacer cinco líneas, con puntos pertenecientes a varias lineas a muchos se nos ocurre la idea de varios trazados con un punto común como dos rectas que se cortan en un punto.

[caption id="attachment_15033" align="alignleft" width="150"] Pentagono[/caption]

Y a partir de estas ideas comenzamos a pelearnos con este pequeño juego geométrico.

Llevando a la situación límite esta idea de las rectas,llega un momento en el cual, como tenemos que situar cinco segmentos se nos ocurre situar cinco puntos, sabiendo que con esos cinco puntos, comunes todos a dos segmentos quedan totalmente determinados los cinco segmentos, observamos que cinco puntos definen un polígono de cinco lados:

un pentágono.

Pero aún nos quedan otros cinco puntos que determinar, y todos ellos comunes a dos segmentos, es ahora cuando entra en juego la idea de el polígono estrellado inscrito al pentágono.

Nos centramos ahora en nuestro polígono estrellado inscrito al pentágono.

Ya tenemos colocadas nuestras rectas en cuyas intersecciones estarán los puntos, y con ellos determinados los segmentos.

Volviendo al problema inicial habremos determinado, cinco filas de cuatro monedas cada fila.

Sinceramente, nosotros nos quedamos sin dinero y sin consumición, asi que, por lo menos esperamos que os haya gustado.

Un saludo, pitagorines.

La geometría de chicle [ Alumnos ]

Uno de los primeros artículos que escribieron mis alumnos del grupo "Catetos de la Geometría" fue sobre los aspectos más básicos de la geometría: la topología. A ellos les resultó curioso el concepto y, sin darse cuenta, estaban profundizando en los principales aspectos que configuran un sistema lógico axiomáticos geométrico: la continuidad.

Empezábamos la experiencia de innovación educativa introduciendo los blogs como herramienta dinamizadora del grupo y nos encontrábamos con esta perla. No dejaré de aprender de ellos.

Os dejo su artículo, tal y como lo escribieron. (Por cierto, el vídeo es genial)

LA GEOMETRÍA DE CHICLE

- ¿Cuántos lados tiene una circunferencia?
- Dos, el de dentro y el de fuera.

Aunque parezca un chiste matemático, a lo largo de esta entrada descubriréis que no lo es del todo.Hablamos de topología: es una rama de la geometría que estudia únicamente las propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen invariantes cuando sufren transformaciones.

Es una geometría sin medidas, llamada también geometría de la membrana de goma o del chicle, puesto que las figuras siguen siendo las mismas aunque las sometamos a deformaciones (retorcer, distorsionar, estirar, contraer...) pero sin desgarramientos ni roturas: es como si estuvieran hechas de goma o plastilina.

Por ejemplo, el tamaño y la forma no son propiedades topológicas: un globo se puede hinchar o deshinchar, deformarse en un cubo o tomar la forma de una jirafa sin necesidad de desgarrarlo.
Sin embargo, una cuerda que está unida por las dos partes con un nudo o no, sería una propiedad topológica. Una de estas propiedades de las curvas en el espacio, es que una curva cerrada divide al plano que la contiene en dos partes: la interior y la exterior.

El número de dimensiones de una figura, la proximidad, el tipo de textura, el hecho de tener o no borde, el número de agujeros... son también propiedades topológicas.

El número de agujeros que presenta una figura es lo que se conoce como su género (es el número máximo de cortes que se le puede hacer sin partirla en dos trozos).

• Una esfera maciza es de género 0, puesto que carece de agujeros y sólo es necesario un corte para romperla en dos partes.


• Una rosquilla tiene género 1, pues tiene un agujero y se le puede hacer un corte sin romperlo en dos pedazos.


• Unas gafas sin cristales tienen género 2, porque al tener dos agujeros se les pueden hacer dos cortes sin romperlas en dos partes.

Una esfera, un cubo y una pirámide son topológicamente lo mismo porque podríamos transformar uno en otro sin necesidad de romper ni unir sus partes.
Sin embargo, una circunferencia no es lo mismo que un segmento, puesto que habría que partirla por algún punto.Un ejemplo típico es el de la rosquilla y la taza de café, figuras topológicamente equivalentes, de género 1.

Y si lo pensáis, los seres humanos también somos de género 1.

Somos topológicamente equivalentes a las rosquillas: nuestro tubo digestivo correspondería al agujero de un donut.

Aquí os dejo un curioso vídeo:

La topología es por supuesto una disciplina matemática, y como tal, a menudo en el trabajo teórico no hace falta tener un método para encontrar la solución, sino que lo importante es saber que existe tal solución.
Por ejemplo, siempre hay un par de puntos diametralmente opuestos (antipodales) sobre la superficie de la Tierra que tienen exactamente la misma temperatura y presión. Estos puntos van variando y no hay manera de encontrarlos, pero podemos demostrar que existen siempre.

Históricamente, las primeras menciones a una geometría sin medidas proceden de Leibniz, quién la llamógeometría de la posición. Pero no es hasta la resolución del famoso problema de los puentes de Königsberg por parte de Euler, cuando se habla de "topología".

Aquí tenéis más temas relacionados en los blogs de nuestros compañeros: problema de los puentes de Königsberg y Cinta de Möbius .

Zaha Hadid y el Deconstructivismo

Zaha Hadid es una arquitecta, diseñadora y urbanista contemporánea que diseña formas innovadoras que rebosan fantasía evocando mundos futuros.

En las páginas web de Zaha Hadid podemos ver una impresionante muestra de su ideación, que se mueve en los límites del deconstructivismo. Curvas sinuosas que transmiten un sentimiento orgánico diferente en estas disciplinas.

Zaha Hadid (árabe: زها حديد) (Bagdad; 31 de octubre de 1950 - ) es una prominente arquitecta angloiraquí, procedente de la corriente del deconstructivismo. A pesar de ser de nacionalidad iraquí, la mayor parte de su vida la ha pasado en Londres, donde se ubica su estudio de arquitectura. La obra arquitectónica de Zaha Hadid ha sido reconocida en diversas ocasiones con premios de rango internacional entre ellos el Premio Pritzker, tratándose de la primera mujer que consigue este galardón.(W)

[caption id="attachment_14972" align="aligncenter" width="176"] Belu Bench[/caption]

El deconstructivismo, también llamado deconstrucción, es un movimiento arquitectónico que nació a finales de la década de 1980. Se caracteriza por la fragmentación, el proceso de diseño no lineal, el interés por la manipulación de las ideas de la superficie de las estructuras y, en apariencia, de la geometría no euclídea,¹ (por ejemplo, formas no rectilíneas) que se emplean para distorsionar y dislocar algunos de los principios elementales de la arquitectura como la estructura y la envolvente del edificio. (W)

Guangzhou Opera House © Zaha Hadid Architects

 



Guangzhou Opera House © Zaha Hadid Architects from Zaha Hadid Architects on Vimeo.

Fantasía geométrica de Zaha Hadid

Premios