Orígen de la geometría proyectiva: Renacimiento [ Alumnos ]

Una de las partes de la geometría que tiene mayor incidencia en la representación es la correspondiente a la geometría descriptiva. Entre los trabajos que han realizado mis alumnos, algunos se han centrado en los orígenes de las diferentes geometrías, como el que hoy os presento en el que se relatan aspectos históricos y personajes que han aportado significativamente a este campo de la ciencia de gran aplicación a las ingeniarías y el Arte.

Por Catetos de la Geometría (publicado originalmente aquí)

[caption id="attachment_13073" align="alignleft" width="230"] Perspectiva[/caption]

La geometría proyectiva apareció como solución al problema del artista para pintar el mundo tridimensional en sus lienzos bidimensionales.
La geometría proyectiva tiene sus orígenes en el trabajo de los artistas del Renacimiento(S.XV); aunque algunos de los conceptos aparecen ya en los griegos. Con el fin de pintar cuadros más realistas, los artistas del Renacimiento trataron de descubrir las leyes que rigen la construcción de la proyección del objeto sobre una pantalla. Llegando a desarrollar los elementos de una teoría fundamental de una perspectiva geométrica, en el siglo XV eran los mejores físicos y matemáticos.

Este interés por desarrollar la geometría proyectiva se debe al cambio en la temática de la pintura. En el periodo medieval las pinturas eran de carácter principalmente religioso y los pintores representaban a los personajes y objetos de una forma sumamente estilizada, generalmente sobre fondo dorado, para subrayar que el cuadro no tenía conexión con el mundo real. En el Renacimiento con la llegada del humanismo y el antropocentrismo la pintura se centra en la representación del mundo real.

Filippo Brunelleschi (1377-1446) fue el primer artista en tener una teoría sobre el método a usar. Se dice que su interés en las matemáticas le llevó a estudiar la perspectiva, y que empezó a pintar para aplicar la geometría.

El primer libro fue escrito por Leone Battista Alberti (1404-1472), considerado el genio teórico en la perspectiva matemática, que presentó sus ideas en “Della Pintura” (1435).

Alberti propone unas reglas para pintar lo que ve un ojo (consciente de que en la visión normal ambos ojos ven la misma escena desde posiciones distintas y el cerebro percibe la profundidad superponiendo esas dos imágenes, intenta conseguir esa ilusión de profundidad a base de juegos de luces y sombras y disminución de intensidad). El método se basaba en un instrumento llamado el “Velo de Alberti”. Su principio básico es el siguiente: Considera una pirámide de rayos que parten del ojo del pintor y terminan en cada punto de la escena que desea pintar. Esta pirámide de rayos la llamo proyección. Si entre la escena y el ojo se coloca una pantalla de cristal, cada uno de los rayos determina un punto sobre el cristal formándose así una sección. Y esta sección crea en el ojo la misma imagen que la escena misma. Según la posición de la pantalla, tendremos distintas secciones del mismo objeto.

[caption id="attachment_13074" align="aligncenter" width="320"] Alberti[/caption]

Aunque muchos artistas escribieron sobre perspectiva, destacan:

• Da Vinci decía que la pintura debía ser una reproducción exacta de la realidad y que la perspectiva matemática lo permitiría. Sus escritos sobre perspectiva se encuentran en su “Tratatto Della pintura” (1651).


• Piero della Francesca estableció los principios matemáticos de la perspectiva de una forma bastante completa. Su obra “De prospectiva pingendi” aportó algunos avances a las ideas de Alberti. Sus procedimientos son útiles para los artistas, pero carecen del mínimo rigor en unas demostraciones que son simples construcciones.

Geometría Proyectiva

Proyecciones y navegación [Alumnos]

La especialidad de navegación aérea, denominada "Aeronavegación", de las enseñanzas de ingeniería aeronáutica hacen un uso especializado de la geometría para la confección de cartas de navegación.

Los alumnos que han elaborado este trabajo son sensibles a ello y destacan por tanto una de las aplicaciones de las enseñanzas que han recibido.

El grupo "HAFF" nos aporta otra interesante muestra de aprendizaje transversal en el campo de la geometría proyectiva.

La carta aeronáutica se define como la representación de una porción de la tierra, su relieve y construcciones, diseñada especialmente para satisfacer los requisitos de la navegación aérea. Se trata de un mapa en el que se reflejan las rutas que deben seguir las aeronaves, y se facilitan las ayudas, los procedimientos y otros datos imprescindibles para el piloto.(W)

por HAFF

En esta entrada se tratarán los principales tipos de proyecciones que se realizan en cartografía para elaborar cartas de navegación. En el campo de la aeronáutica, esto tiene cierta importancia para la navegación aérea, puesto que hoy en día los pilotos utilizan las cartas de navegación a pesar de la existencia de radioayudas, el radar y el GPS.

El principal problema que surge es que la superficie de la Tierra no es desarrollable y por ello no es posible proyectarla con total fidelidad sobre un plano. Así, cada tipo de proyección tendrá sus limitaciones, en las cuales una tripulación se basa para escoger un mapa, en función del tipo de ruta.

En la aeronáutica, las superficies de proyección que se utilizan son el plano, el cilindro y el cono, dando lugar a las proyecciones planas, cilíndricas y cónicas.

PROYECCIONES PLANAS

En función del punto desde el que proyectamos los puntos del planeta sobre el plano, podemos dividirlas en:

• Ortográfica: Se proyecta desde un punto impropio (infinito) de tal modo que proyectamos la esfera perpendicularmente al plano de proyección.


• Escenográfica: El origen de la proyección corresponde a un punto exterior a la superficie de la Tierra y a una distancia finita.


• Estereográfica: El origen de la proyección está situado sobre la superficie de la Tierra, en un punto diametralmente opuesto al plano.


• Gnomónica o centrográfica: El centro de la tierra es el origen de la proyección.

CONFORMIDAD, EQUIVALENCIA Y CÍRCULOS MÁXIMOS

Para hacer una carta de navegación, es importante tener en cuenta ciertos conceptos que describimos a continuación.

• CONFORMIDAD: Decimos que una proyección es conforme si se conservan los ángulos. Es decir, si medimos los ángulos de un triángulo formado por tres pueblos, en la carta han de coincidir estos tres valores.


• EQUIVALENCIA: Una proyección es equivalente si mantienes las áreas.


• EQUIDISTANCIA: si conserva las distancias reales entre los diversos puntos del mapa.

Una buena proyección debe ser conforme y equivalente. Pero es imposible tener una proyección que satisfaga estas características por completo. Por ello, se buscan soluciones intermedias. La conformidad y la equivalencia no son fáciles de darse a la vez puesto que una proyección de una figura que conserva sus ángulos no conservará su área.

Otros conceptos a tener en cuenta, a fines de navegación, son el cómo se transformará una línea loxodrómica y una ortodrómica en la proyección. Veamos estos dos conceptos:

• En una superficie plana la distancia más corta entre dos puntos viene dada por una línea recta


• Sobre una superficie esférica, como es aproximadamente la Tierra, para ir de un punto a otro por el camino más corto, se debe ir por un arco de círculo máximo.

Se llama círculo máximo a la intersección de una esfera con un plano que pase por su centro. Es decir, una circunferencia de radio máximo en la esfera. Por ejemplo, todos los meridianos son círculos máximos. Pero no todos los paralelos, puesto que van reduciendo su radio conforme aumentamos o bajamos de latitud desde el ecuador (que es un círculo máximo).

Pues bien, una línea (o ruta) ortodrómica es aquélla que es un arco de círculo máximo y, por ello, el camino más rápido entre dos puntos. Sin embargo, cuando nos movemos con un rumbo fijo con nuestra aeronave, no estamos realizando este tipo de trayectoria, sino que estamos volando en una loxodrómica, que es aquélla ruta que corta a los meridianos con el mismo ángulo (lo que ocurre al mantener un rumbo geográfico constante). Describiríamos una trayectoria como la de la imagen. Es decir, para volar en una ortodrómica habría que estar cambiando de rumbo constantemente. Aunque hay que tener en cuenta que esto ocurre a gran escala y para viajes de corto alcance esto influye en mucho menor grado.

 

[caption id="attachment_12476" align="aligncenter" width="442" caption="loxodromica"][/caption]

 

Dicho esto, para el piloto de la nave, es importante saber cómo se va a representar una loxodrómica y una ortodrómica. Una forma de verlo rápidamente es fijarnos en la forma que tienen los meridianos (círculos máximos) en nuestra carta. Si vemos que son lo más rectilíneos posibles, nos será más útil. Veamos a continuación los distintos tipos de proyecciones y cómo están presentes estas cualidades en ellas.

PROYECCIONES

Gnomónica polar: No es conforme y, al igual que en la anterior, conforme nos alejamos del polo las formas se distorsionan en mayor grado. Los paralelos y los meridianos son ortogonales. Las líneas ortodrómicas son líneas rectas y las loxodrómicas son líneas curvas.

Cilíndrica Mercator: Es conforme y la distorsión de áreas y formas aumenta con el alejamiento del ecuador (no es indicada para representar todo el globo terráqueo). Los paralelos y los meridianos son ortogonales. Los paralelos se presentan como líneas rectas paralelas desigualmente espaciadas. Los meridianos aparecen como rectas paralelas igualmente espaciadas. Las líneas ortodrómicas son curvas, a excepción de los meridianos y el ecuador. La línea loxodrómica será una recta. El origen de la proyección es el centro de la esfera y el plano de proyección es tangente a ésta en el ecuador. Es muy utilizada en navegación por la facilidad de trazar loxodrómicas. Una descripción matemática de la proyección puede encontrarse en: Proyección de Mercator

Cónica conforme de Lambert: Se trata de la proyección más utilizada en la Aviación General (entre ellas la carta de la OACI 1: 500.000). Es conforme y la distorsión de áreas y formas es muy ligera. Los paralelos y los meridianos son ortogonales y la escala de distancias es prácticamente constante. Los paralelos se presentan como arcos de círculos concéntricos casi igualmente distanciados. Los meridianos aparecen como líneas rectas que convergen en el polo. Las ortodrómicas son aproximadamente rectas y las loxodrómicas son curvas. Se proyecta desde el centro de la esfera hacia una superficie cónica, que corta al plano de proyección (carta) en dos paralelos llamados estándar o automecoicos. Se utiliza prácticamente para todos los tipos de navegación.

Elipses y Parábolas a nuestro alrededor [Alumnos]

Un tipo de trabajo recurrente en los blogs que han desarrollado mis alumnos ha consistido en la búsqueda e identificación de la geometría en todos los aspectos de su realidad cotidiana, dándose cuenta de la importancia de la misma.

Las curvas cónicas que se estudian en el apartado de geometría métrica tienen un alto interés en los estudios de ingeniería aeronáutica, ya que permiten describir las trayectorias de los cuerpos sometidos a las leyes gravitatorias. Sin embargo, como claramente destacan en sus trabajos, no son los únicos campos de aplicación. El breve artículo que sigue, realizado por el grupo de alumnos autodenominado "El laberinto del Ángulo"  es una muestra de estas inquietudes de relación con lo cotidiano.

por AG El Laberinto del Ángulo

Seguro que ya sabes que las elipses y parábolas son curvas son muy importantes en Física ya que se ajustan perfectamente a la representación matemática de muchos fenómenos.

Pero también vemos elipses y parábolas en nuestra vida cotidiana sin que nos demos cuenta de ello. A continuación te mostramos algunos ejemplos.

• Parábola: cualquier cuerpo lanzado al aire horizontal u oblicuamente realiza una parábola bajo la acción de la gravedad.

Un ejemplo es una pelota que bota desplazándose en la cual la parábola va haciendo más pequeña debido a la pérdida de energía desperdiciada en cada bote.

Otro ejemplo de bonitos arcos parabólicos son los creados por las fuentes de las ciudades sean las fuentes ‘‘Cibeles’’, ‘‘Neptuno’’o las del Paseo del Prado de Madrid. 

También podemos encontrar formas parabólicas cuando un haz luminoso se proyecta cónicamente sobre una pared blanca de forma que la pared sea paralela a la generatriz del cono.

O también en una antena parabólica (o para el seguimiento de satélites) la cual aprovecha una de las propiedades más importantes de la parábola que es cualquier rayo que incida de forma paralela al eje de la parábola rebota en su superficie pasando por el foco concentrando los rayos en este punto. También es el caso del faro del coche, cocina solar...

• Elipse: es la curva que describen los planetas en su giro alrededor del sol pero también podemos encontrarlas a nuestro alrededor aunque es difícil pero solo aparentemente.

Algunos ejemplos son las plazas con ''forma elíptica'' que podemos encontrar en ciudades como Madrid o Bilbao pero sin duda la más famosa e impresionante es la Plaza de San Pedro en el Vaticano.

O también la iglesia del Monasterio de San Bernardo en Alcalá de henares (Madrid) ,más conocido como ''Las Bernardas''. Un templo de una única nave y planta elíptica con cúpula del mismo trazado.

Bibliografía: www.elrincóndelaciencia.com

Los Grados de Libertad y las Restricciones [Alumnos]

Uno de los primeros conceptos que abordamos en las clases de geometría es el de restricciones y grados de libertad de una figura geométrica. Nos permite cuantificar la complejidad de la misma y el posible camino para su determinación geométrica en los problemas.

Mis alumnos han interiorizado este concepto y en sus blogs es un tema recurrente.

El número de grados de libertad en ingeniería se refiere al número mínimo de parámetros que necesitamos especificar para determinar completamente la velocidad de un mecanismo o el número de reacciones de una estructura.(W)

Os dejo este análisis del grupo HAFF que con sus propias palabras nos acercan a estos conceptos de alto interés formativo

por HAFF

Los Grados de Libertad son una de las herramientas más útiles del dibujo técnico, pues permiten a la persona que trabaja discernir entre los tipos de problemas más básicos que hay: Los que tienen solución y los que no.

Todo esto es gracias a que los grados de libertad nos dan la información que necesitamos para poder resolver un problema geométrico.

Otra cosa importante a destacar es la diferencia entre los grados de libertad y las restricciones geométricas. Los grados de libertad nos dan información acerca de la LIBERTAD con la que podemos construir una figura en función del número de estos; en cambio, las restricciones lo que nos indican son las características de nuestra figura a construir que no son libres. Por ejemplo, un paralelismo o la medida de una arista o un ángulo. Ambos están relacionados mediante una fórmula muy simple:

P=N-R

donde P (Número de parámetros necesarios para construir la figura), N (Número de grados de libertad que tiene la figura general) y R (Número de restricciones que se aplican a la construcción).

La forma de hallar el número de grados de libertad sigue una forma muy sencilla. El número total es el número de vértices por los grados de libertad de un vértice. En este caso, en el plano, cada vértice tiene 2 grados de libertad (ordenada y coordenada), en el espacio 3 (altura, profundidad) y sucesivamente por cada dimensión añadida del espacio, un grado de libertad más.

Tipos de Restricciones

Forma: Este tipo de restricciones es el que nos indica la forma de nuestra construcción geométrica (valga la redundancia), es decir, el “aspecto” que va a presentar. Estas restricciones son principalmente paralelismos, perpendicularidad, tangencia u ortogonalidad.

Tamaño: Estas nos indican lo grande o pequeña que es la figura en su representación. Son restricciones de tipo métrico pues implican medidas (de longitud y ángulo).

Posición: La posición de un objeto en el espacio en el que lo representemos nos quitará cierta libertad del mismo. Estas restricciones suelen ser posiciones de puntos pertenecientes a las figuras.

Orientación: Indican posiciones relativas de objetos respecto a ciertas referencias. Generalmente son ángulos respecto a los distintos ejes de los sistemas (en cartesianos principalmente, aunque también se usan en sistemas cilíndricos o esféricos).

Finalmente, un ejemplo que ayude a ilustrar la explicación.

Un cuadrado genérico en el plano (se da por conocida la figura, espero…) consta de 4 vértices, pertenece a la familia de los cuadrivértices por lo que tendría un total de 8 grados de libertad. Ahora bien, la palabra “cuadrado”, en sí, es la que nos da las distintas restricciones.

• Forma: 4 restricciones (ó 0 grados de libertad). Estas son: un lado perpendicular a otros dos y paralelo a un tercero y además que dos lados cualesquiera son iguales.


• Tamaño: 0 restricciones (1 grado de libertad), la longitud de la arista es libre (salvo que esté definida en el problema).


• Posición: 0 restricciones (2 grados de libertad), la posición de un punto queda a libre elección de la persona que lo dibuja.


• Orientación: 0 restricciones (1 grado de libertad), el ángulo de un lado respecto a un eje marca la orientación de la figura y nos da una libertad.

Resumiendo, el cuadrivértice poseía de manera genérica 8 grados de libertad. Al definirlo como cuadrado nos da un total de 4 restricciones (las de forma) dejando libres 4 grados de libertad. En otro caso no genérico, estos grados de libertad estarían definidos de alguna forma incrementando el número de restricciones del mismo.

Este trabajo ha sido realizado por los alumnos de la EUIT Aeronáutica de la Universidad Politécnica de Madrid dentro del marco de los proyectos de innovación educativa Blogs educativos experimentales e INNOVABLOG

Imagen de cabecera perteneciente a:

POSICIONADOR PLANO DE DOS GRADOS DE LIBERTAD CON ACTUADORES ESTATICOS Y CONFINADOS

El Tangram [Alumnos]

Dentro de las experiencias de uso de los blogs educativos que realizamos con nuestros alumnos, me ha llamado la atención la cantidad de artículos que han incluido en los que los aspectos "lúdicos" han sido elementos desarrollados con gran frecuencia.

La geometría se encuentra presente en todos ellos y es una forma motivadora de acercarse a su conocimiento. En este caso el grupo "Arco Capaz" nos presenta un clásico rompecabezas formado figuras elementales.

Os dejo su entrada, publicada originalmente en su blog.

por Arco Capaz

El Tangram es un juego popular muy antiguo, procedente de China, y está formado por siete piezas, llamadas ”tans” que son:

• Un cuadrado


• Dos triángulos grandes


• Un triángulo mediano


• Dos triángulos pequeños


• Un paralelogramo

Estas siete piezas son resultado de dividir en siete partes un cuadrado, y con ellas se pueden realizar miles de figuras con características diversas, ya sean animales, personas, objetos, figuras abstractas…
A pesar de tratarse de un juego, en la práctica, su empleo en los juegos de los niños facilita la estimulación de diferentes habilidades como son la orientación espacial, el razonamiento lógico espacial, coordinación visual y motora, etc. Es, en fin, un juego destinado a desarrollar las capacidades geométrico-descriptivas. Por ello, los pedagogos y psicólogos suelen usarlos para estimular a niños en pleno desarrollo ya que permite ligar de manera lúdica la manipulación concreta de materiales con la formación de ideas abstractas.

Actualización:

Añado a su artículo una ficha con diferentes combinaciones (motivo personas) que se pueden realizar con estas piezas, obtenido en este blog donde podéis ampliar información sobre este interesante pasatiempo educativo.