Orígen de la geometría proyectiva: Renacimiento [ Alumnos ]

Una de las partes de la geometría que tiene mayor incidencia en la representación es la correspondiente a la geometría descriptiva. Entre los trabajos que han realizado mis alumnos, algunos se han centrado en los orígenes de las diferentes geometrías, como el que hoy os presento en el que se relatan aspectos históricos y personajes que han aportado significativamente a este campo de la ciencia de gran aplicación a las ingeniarías y el Arte.

Por Catetos de la Geometría (publicado originalmente aquí)

[caption id="attachment_13073" align="alignleft" width="230"] Perspectiva[/caption]

La geometría proyectiva apareció como solución al problema del artista para pintar el mundo tridimensional en sus lienzos bidimensionales.
La geometría proyectiva tiene sus orígenes en el trabajo de los artistas del Renacimiento(S.XV); aunque algunos de los conceptos aparecen ya en los griegos. Con el fin de pintar cuadros más realistas, los artistas del Renacimiento trataron de descubrir las leyes que rigen la construcción de la proyección del objeto sobre una pantalla. Llegando a desarrollar los elementos de una teoría fundamental de una perspectiva geométrica, en el siglo XV eran los mejores físicos y matemáticos.

Este interés por desarrollar la geometría proyectiva se debe al cambio en la temática de la pintura. En el periodo medieval las pinturas eran de carácter principalmente religioso y los pintores representaban a los personajes y objetos de una forma sumamente estilizada, generalmente sobre fondo dorado, para subrayar que el cuadro no tenía conexión con el mundo real. En el Renacimiento con la llegada del humanismo y el antropocentrismo la pintura se centra en la representación del mundo real.

Filippo Brunelleschi (1377-1446) fue el primer artista en tener una teoría sobre el método a usar. Se dice que su interés en las matemáticas le llevó a estudiar la perspectiva, y que empezó a pintar para aplicar la geometría.

El primer libro fue escrito por Leone Battista Alberti (1404-1472), considerado el genio teórico en la perspectiva matemática, que presentó sus ideas en “Della Pintura” (1435).

Alberti propone unas reglas para pintar lo que ve un ojo (consciente de que en la visión normal ambos ojos ven la misma escena desde posiciones distintas y el cerebro percibe la profundidad superponiendo esas dos imágenes, intenta conseguir esa ilusión de profundidad a base de juegos de luces y sombras y disminución de intensidad). El método se basaba en un instrumento llamado el “Velo de Alberti”. Su principio básico es el siguiente: Considera una pirámide de rayos que parten del ojo del pintor y terminan en cada punto de la escena que desea pintar. Esta pirámide de rayos la llamo proyección. Si entre la escena y el ojo se coloca una pantalla de cristal, cada uno de los rayos determina un punto sobre el cristal formándose así una sección. Y esta sección crea en el ojo la misma imagen que la escena misma. Según la posición de la pantalla, tendremos distintas secciones del mismo objeto.

[caption id="attachment_13074" align="aligncenter" width="320"] Alberti[/caption]

Aunque muchos artistas escribieron sobre perspectiva, destacan:

• Da Vinci decía que la pintura debía ser una reproducción exacta de la realidad y que la perspectiva matemática lo permitiría. Sus escritos sobre perspectiva se encuentran en su “Tratatto Della pintura” (1651).


• Piero della Francesca estableció los principios matemáticos de la perspectiva de una forma bastante completa. Su obra “De prospectiva pingendi” aportó algunos avances a las ideas de Alberti. Sus procedimientos son útiles para los artistas, pero carecen del mínimo rigor en unas demostraciones que son simples construcciones.

Geometría Proyectiva

Geometría proyectiva: Ternas ordenadas de elementos

Ternas ordenadas de elementos

La geometría métrica se fundamenta en el conocido teorema de pitágoras. Todas los teoremas se deducen a partir del concepto de medida que se deriva de los triángulos rectángulos.

De forma análoga, la geometría proyectiva se basa en otro importante teorema, el teorema de Thales, que en lugar de un concepto métrico establece la noción de relación de medidas, como invariante proyectivo.

Concepto de ternas de elementos

Tres elementos pertenecientes a una forma de primera categoría determinan una terna.

En el caso de usar los elementos puntos, entonces diremos que tres puntos determinan una terna ordenada de puntos.

Los elementos pueden ser tanto puntos como rectas o planos, incluso se podrían generar ternas de hiperelementos en geometrías más complejas.

Para representarlo simbólicamente usamos la siguiente notación:

• Terna de puntos: (ABC)


• Terna de rectas: (abc)


• Terna de planos: (αβγ)

La terna tiene un valor numérico o característica asociado que implica la ordenación de los términos que la forman.

• (ABC) = AB/AC = λ. [Ec. 1]


• (abc) = sen(ab)/sen(ac) = λ. [Ec. 2]


• (αβγ) = sen(αβ)/sen(αγ) = λ. [Ec. 3]

Ternas ordenadas de puntos

Se define el valor de una terna ordenada de tres puntos como el cociente entre dos longitudes, la del segmento formado por el primer y segundo punto de la terna y el segmento formado por el primer y el tercer punto:

[caption id="attachment_11482" align="aligncenter" width="169" caption="Ec. 1"]Ecuacion ternas puntos[/caption]

Los segmentos pueden tener signo. El sentido del segmento AB es contrario al del BA, o lo que es lo mismo, AB = - BA

Conceptualmente se puede entender una terna como la medida de un segmento tomando como unidad el otro.

Por ejemplo, si B es el punto medio del segmento AC, la terna (ABC) = 1/2. El segmento AC actúa como unidad de medida.

Ternas ordenadas de rectas

Se define el valor de la terna ordenada de tres rectas como el cociente entre dos senos, el del ángulo formado por las dos primeras rectas y el que determina la primera y tercer recta:[Ec. 2]

[caption id="attachment_11483" align="aligncenter" width="190" caption="Ec.-2"]Ternas ordenadas de rectas[/caption]

Tres rectas de un haz de vértice V, y los tres puntos de una serie sección del haz por una recta se pueden relacionar mediante los valores de sus ternas.
Este valor o característica de la terna es un elemento fundamental para clasificar las proyecciones, de forma que aquellas en que es invariante gozan de propiedades comunes e independientes del tipo de proyección.

[caption id="attachment_11277" align="aligncenter" width="319" caption="Figura 2.- Relacion entre ternas de puntos y rectas"][/caption]

Al proyectar ortogonalmente los puntos B y C de la rerie rectilínea sobre la recta a de la Fig.1, se obtienen los puntos B’ y C’. Los triángulos ABB’ y ACC’ son semejantes por lo que, aplicando las relaciones según el teorema de Thales:

(abc) = sen(ab)/sen(ac) = λ [Ec. 2]

El valor del seno del ángulo que forman las rectas a y b así como el formado por las rectas a y c será:

[caption id="attachment_13051" align="aligncenter" width="414" caption="Ecuaciones de ángulos entre rectas"][/caption]

Si se sustituyen estos últimos valores en la [Ec. 2] tendremos:

[caption id="attachment_13052" align="aligncenter" width="394" caption="ecuación 6. Relación entre ternas de puntos y rectas"][/caption]

Por tanto, en general, (ABC) ≠ (abc), el valor de una terna de rectas es diferente del de una terna de puntos que la secciona.

Si seccionamos un haz de rectas por dos rectas no paralelas, las series determinadas son perspectivas entre sí, aunque las ternas de puntos no tienen la misma característica.

Un ejemplo es la proyección cónica desde un punto V.

[caption id="attachment_11276" align="aligncenter" width="360" caption="Fig.-3 Perspectividad entre series"][/caption]

Para que sean iguales las dos ternas es necesario que el cociente VC/VB sea igual a la unidad. Esto se consigue cuando el vèrtice es un punto impropio, o cuando las rectas que seccionan son paralelas.
Esto permite obtener interesantes propiedades en las proyecciones de naturaleza cilíndrica (vértice impropio) y en las proyecciones y, o, secciones por rectas o planos.

Conservación de la razón simple

Cuando el vértice V del haz de rectas se encuentra en el infinito, el término VC/VB de la [Ec. 6] tiende a la unidad, por lo que la terna de puntos tiene igual valor que la terna de rectas.

[caption id="attachment_13054" align="alignleft" width="121" caption="Fig.-4 Conservación de la razón simple en secciones por rectas paralelas"][/caption] Al seccionar tres rectas de un haz de vértice impropio (rectas paralelas a, b y c en la figura ), las diferentes ternas de puntos resultados de la sección tienen por tanto un mismo valor o característica. Este caso se corresponde con las proyecciones conocidas como proyecciones cilíndricas, en las que se proyecta según una dirección ortogonal u oblícua respecto del plano de proyección, o plano del dibujo.

[caption id="attachment_13055" align="alignleft" width="205" caption="Fig.- 5 Conservación razón simple en secciones por rectas paralelas"][/caption] Al seccionar tres rectas de un haz de vértice propio (rectas paralelas a, b y c en la figura ), las diferentes ternas de puntos resultados de la sección tienen por tanto un mismo valor. Este caso se corresponde con las proyecciones cónicas sobre planos o rectas que sean paralelos y en las homotecias.

Conservación de la razón simple en Proyecciones cilíndricas:

El modelo proyectivo puede ser de gran utilidad en el estudio de los sistemas de representación. Para obtener las diferentes representaciones se proyectan los elementos sobre un plano de proyección.

Este proceso implica el uso de las dos operaciones proyectivas:

• Proyectamos un punto


• Seccionamos el rayo resultante por el plano de proyección.

Podemos utilizar los términos proyectivos por ejemplo para definir el concepto de proyección de un elemento.

• Proyectar un punto desde otro es definir la recta que pertenece a ambos elementos (Serie rectilínea)


• Proyectar una recta desde un punto es definir el plano que pertenece a ambos elementos (Haz de rectas)


• Proyectar un plano desde un punto es definir el conjunto de rectas/planos que pertenece al punto y a los puntos/rectas del plano (Radiación de rectas/planos)

Al proyectar los elementos, el centro de proyección puede ser:

• Propio


• Impropio

En el caso de una proyección con centro impropio (o también denominada proyección cilíndrica), se conserva la razón simple en las ternas de rayos proyectantes.

(AMB) = (A’M’B’)

[caption id="attachment_13056" align="alignleft" width="171" caption="Fig.- 7 Proyección del punto medio de un segmento en proyección cilíndrica."][/caption]

La proyección del punto medio, por tanto, se corresponde con el punto medio de la proyección.

Este resultado es de gran utilidad en numerosos problemas en que la relación entre sus partes, su geometría, es conocida.

Por ejemplo la obtención de la proyección del baricentro de un triángulo se puede limitar de nuevo a localizar el baricentro del triángulo proyectado.

 
[caption id="attachment_13573" align="aligncenter" width="400" caption="Sistemas_de_representacion"][/caption]

Geometría Proyectiva

Geometry : Software educativo de geometría variacional

El estudio de la geometría se ha realizado clásicamente construyendo figuras compuestas por líneas y circunferencias que se relacionan mediante conceptos geométricos.

Estas figuras se obtienen a partir de una posición concreta de los datos de un problema y el objetivo es superponer un conjunto de construcciones que permiten determinar la solución del mismo. Sin embargo, las restricciones geométricas que se imponen son independientes de la posición de los datos de partida lo que permite abordar el problema de formación en estos modelos desde un punto de vista más completo permitiendo mostrar interactivamente estos conceptos.

La geometría variacional se presenta por tanto como una herramienta que facilita generalizar los conceptos geométricos para el estudio detallado de los mismos, facilitando su comprensión y generalización.

Al modificar la posición del vértice "A" del triángulo ABC, el punto "H" (pié de la altura) se desplazará sobre el segmento BC de forma que la altura siga siendo perpendicular a la base del triángulo

Geometry es una herramienta educativa para construcción de geometría interactiva que permite observar los invariantes geométricos al modificar dinámicamente la posición de los datos.

Geometry es un programa desarrollado enteramente en JAVA y distribuido mediante un fichero "JAR" ejecutable en cualquier dispositivo que disponga de una máquina virtual JAVA. Ha sido probado en diferentes sistemas operativos y entornos de ejecución, incluidos dispositivos móviles tipo PDA.

Geometry ha sido usado como herramienta docente en diferentes cursos universitarios, evolucionando y limitando la funcionalidad para un uso académico en el que se prima el aprendizaje respecto de la productividad. La limitación de funciones permite forzar la interpretación y desarrollo de modelos geométricos que sirven para asentar los conceptos geométricos que se estudian en estos niveles educativos.

Funciones del programa

Las diferentes funciones se encuentran accesibles mediante un conjunto de iconos situados en la parte superior.
El programa se puede encontrar en dos estados diferentes: Repetición de comandos o modo variacional.

La forma básica de funcionamiento de la aplicación se basa en definir un conjunto de puntos en los que se apoya la geometría. Estos puntos servirán para definir posteriormente otros elementos, como líneas y circunferencias.

Las funciones principales que aporta la herramienta son:

• Añadir puntos


• Añadir segmentos


• Circunferencia por tres puntos


• Circunferencia por diámetro


• Circunferencia por centro y radio


• Rectas perpendiculares


• Rectas paralelas


• Intersección de dos líneas


• Intersección entre línea y circunferencia


• Intersección de dos circunferencias


• Modificación de la visualización (Colores y tamaños)


• Borrar elementos


• Almacenar y recuperar ficheros

Acceder a la página de descarga del programa Geometry

Fondos de escritorio: Navidad 2011 (IX) : Árbol de navidad geométrico: Toroides y poliedros [ Imagen 1280x1024 ]

Un fondo de escritorio realizado con Blender para utilizar como wallpaper en resolución 1280 x 1024 basado en elementos geométricos elementales.

La estructura del arbol se ha creado con formas toroidales (toro de revolución) que se han repetido mediante el operador "Array" escalando su tamaño.

Sobre el modelo, representado en modo alámbrico, se ha generado un sistema de partículas representadas por un grupo de objetos geométricos: Cubos, pirámides, icosaedros etc.

Para ver en resolución 1280 x 1024 pulsar sobre la imagen.

[caption id="attachment_5550" align="aligncenter" width="150" caption="Wallpapers"][/caption]

Proyecciones y navegación [Alumnos]

La especialidad de navegación aérea, denominada "Aeronavegación", de las enseñanzas de ingeniería aeronáutica hacen un uso especializado de la geometría para la confección de cartas de navegación.

Los alumnos que han elaborado este trabajo son sensibles a ello y destacan por tanto una de las aplicaciones de las enseñanzas que han recibido.

El grupo "HAFF" nos aporta otra interesante muestra de aprendizaje transversal en el campo de la geometría proyectiva.

La carta aeronáutica se define como la representación de una porción de la tierra, su relieve y construcciones, diseñada especialmente para satisfacer los requisitos de la navegación aérea. Se trata de un mapa en el que se reflejan las rutas que deben seguir las aeronaves, y se facilitan las ayudas, los procedimientos y otros datos imprescindibles para el piloto.(W)

por HAFF

En esta entrada se tratarán los principales tipos de proyecciones que se realizan en cartografía para elaborar cartas de navegación. En el campo de la aeronáutica, esto tiene cierta importancia para la navegación aérea, puesto que hoy en día los pilotos utilizan las cartas de navegación a pesar de la existencia de radioayudas, el radar y el GPS.

El principal problema que surge es que la superficie de la Tierra no es desarrollable y por ello no es posible proyectarla con total fidelidad sobre un plano. Así, cada tipo de proyección tendrá sus limitaciones, en las cuales una tripulación se basa para escoger un mapa, en función del tipo de ruta.

En la aeronáutica, las superficies de proyección que se utilizan son el plano, el cilindro y el cono, dando lugar a las proyecciones planas, cilíndricas y cónicas.

PROYECCIONES PLANAS

En función del punto desde el que proyectamos los puntos del planeta sobre el plano, podemos dividirlas en:

• Ortográfica: Se proyecta desde un punto impropio (infinito) de tal modo que proyectamos la esfera perpendicularmente al plano de proyección.


• Escenográfica: El origen de la proyección corresponde a un punto exterior a la superficie de la Tierra y a una distancia finita.


• Estereográfica: El origen de la proyección está situado sobre la superficie de la Tierra, en un punto diametralmente opuesto al plano.


• Gnomónica o centrográfica: El centro de la tierra es el origen de la proyección.

CONFORMIDAD, EQUIVALENCIA Y CÍRCULOS MÁXIMOS

Para hacer una carta de navegación, es importante tener en cuenta ciertos conceptos que describimos a continuación.

• CONFORMIDAD: Decimos que una proyección es conforme si se conservan los ángulos. Es decir, si medimos los ángulos de un triángulo formado por tres pueblos, en la carta han de coincidir estos tres valores.


• EQUIVALENCIA: Una proyección es equivalente si mantienes las áreas.


• EQUIDISTANCIA: si conserva las distancias reales entre los diversos puntos del mapa.

Una buena proyección debe ser conforme y equivalente. Pero es imposible tener una proyección que satisfaga estas características por completo. Por ello, se buscan soluciones intermedias. La conformidad y la equivalencia no son fáciles de darse a la vez puesto que una proyección de una figura que conserva sus ángulos no conservará su área.

Otros conceptos a tener en cuenta, a fines de navegación, son el cómo se transformará una línea loxodrómica y una ortodrómica en la proyección. Veamos estos dos conceptos:

• En una superficie plana la distancia más corta entre dos puntos viene dada por una línea recta


• Sobre una superficie esférica, como es aproximadamente la Tierra, para ir de un punto a otro por el camino más corto, se debe ir por un arco de círculo máximo.

Se llama círculo máximo a la intersección de una esfera con un plano que pase por su centro. Es decir, una circunferencia de radio máximo en la esfera. Por ejemplo, todos los meridianos son círculos máximos. Pero no todos los paralelos, puesto que van reduciendo su radio conforme aumentamos o bajamos de latitud desde el ecuador (que es un círculo máximo).

Pues bien, una línea (o ruta) ortodrómica es aquélla que es un arco de círculo máximo y, por ello, el camino más rápido entre dos puntos. Sin embargo, cuando nos movemos con un rumbo fijo con nuestra aeronave, no estamos realizando este tipo de trayectoria, sino que estamos volando en una loxodrómica, que es aquélla ruta que corta a los meridianos con el mismo ángulo (lo que ocurre al mantener un rumbo geográfico constante). Describiríamos una trayectoria como la de la imagen. Es decir, para volar en una ortodrómica habría que estar cambiando de rumbo constantemente. Aunque hay que tener en cuenta que esto ocurre a gran escala y para viajes de corto alcance esto influye en mucho menor grado.

 

[caption id="attachment_12476" align="aligncenter" width="442" caption="loxodromica"][/caption]

 

Dicho esto, para el piloto de la nave, es importante saber cómo se va a representar una loxodrómica y una ortodrómica. Una forma de verlo rápidamente es fijarnos en la forma que tienen los meridianos (círculos máximos) en nuestra carta. Si vemos que son lo más rectilíneos posibles, nos será más útil. Veamos a continuación los distintos tipos de proyecciones y cómo están presentes estas cualidades en ellas.

PROYECCIONES

Gnomónica polar: No es conforme y, al igual que en la anterior, conforme nos alejamos del polo las formas se distorsionan en mayor grado. Los paralelos y los meridianos son ortogonales. Las líneas ortodrómicas son líneas rectas y las loxodrómicas son líneas curvas.

Cilíndrica Mercator: Es conforme y la distorsión de áreas y formas aumenta con el alejamiento del ecuador (no es indicada para representar todo el globo terráqueo). Los paralelos y los meridianos son ortogonales. Los paralelos se presentan como líneas rectas paralelas desigualmente espaciadas. Los meridianos aparecen como rectas paralelas igualmente espaciadas. Las líneas ortodrómicas son curvas, a excepción de los meridianos y el ecuador. La línea loxodrómica será una recta. El origen de la proyección es el centro de la esfera y el plano de proyección es tangente a ésta en el ecuador. Es muy utilizada en navegación por la facilidad de trazar loxodrómicas. Una descripción matemática de la proyección puede encontrarse en: Proyección de Mercator

Cónica conforme de Lambert: Se trata de la proyección más utilizada en la Aviación General (entre ellas la carta de la OACI 1: 500.000). Es conforme y la distorsión de áreas y formas es muy ligera. Los paralelos y los meridianos son ortogonales y la escala de distancias es prácticamente constante. Los paralelos se presentan como arcos de círculos concéntricos casi igualmente distanciados. Los meridianos aparecen como líneas rectas que convergen en el polo. Las ortodrómicas son aproximadamente rectas y las loxodrómicas son curvas. Se proyecta desde el centro de la esfera hacia una superficie cónica, que corta al plano de proyección (carta) en dos paralelos llamados estándar o automecoicos. Se utiliza prácticamente para todos los tipos de navegación.

Fondos de escritorio: Navidad 2011 (V) : Árbol de navidad geométrico: helicoide de cubos[ Imagen 1280x1024 ]

Un nuevo fondo de pantalla realizado con imagen de síntesis gracias a la herramienta de modelado Blender 2.6.

En este caso se ha construido un árbol de navidad mediante una transformación geométrica, un helicoide.

Los puntos de la curva se han sustituido por cubos que se han representado en modo de alambre.

Puedes verlo en formato Wallpaper 1280 x 1024 pulsando sobre la imagen

[caption id="attachment_5550" align="aligncenter" width="150" caption="Wallpapers"][/caption]

Geometría métrica : Teorema de Pitágoras

La geometría métrica se fundamenta en el conocido teorema de Pitágoras, que establece la relación métrica entre los lados de un triángulo rectángulo.

El concepto de medida del espacio euclídeo lo adopta en su definición de distancia, y las relaciones geométricas derivadas son de suma importancia.

A pitágoras debemos otros teoremas menos conocidos, así como el reconocimiento a la escuela de geómetras que creó, de la que hoy nos beneficiamos todos.

Pitágoras de Samos (aproximadamente 582 - 507 a. C., en griego: Πυθαγόρας ο Σάμιος) fue un filósofo y matemático griego, famoso sobre todo por el Teorema de Pitágoras, que en realidad pertenece a la escuela pitagórica y no solo a Pitágoras. Su escuela afirmaba «todo es número», por ello, se dedicó al estudió y clasificación de los números.(W)

Enunciado del Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.(w)

Existen diferentes demostraciones de este importante teorema que es la base de la geometría métrica.

El Chou Pei es una obra matemática de datación discutida en algunos lugares, aunque se acepta mayoritariamente que fue escrita entre el 500 y el 300 a. C.Se cree que Pitágoras no conoció esta obra. En cuanto al Chui Chang parece que es posterior, está fechado en torno al año 250 a. C.

El Chou Pei demuestra el teorema construyendo un cuadrado de lado (a+b) que se parte en cuatro triángulos de base a y altura b, y un cuadrado de lado c (W)

Matemáticamente se puede enunciar con la siguiente ecuación:

Esta ecuación expresa que el área de un cuadrado de lado "a" es igual a la suma de las áreas de dos cuadrados, uno de lado "b" y otro de lado "c". Si denominamos "a" a la hipotenusa (lado más largo) de un triángulo rectángulo y "b" y "c" a los catetos, gráficamente se puede representar con la siguiente figura.

 

Para demostrar que esta ecuación se cumple, usaremos dos nuevas figuras obtenidas a partir de cuadrados de lado "b+c". En el primero se dibuja un cuadrado inscrito de lado a cuyo área será el cuadrado de este lado. Para completar el área del cuadrado del que hemos partido deberemos añadir cuatro triángulos rectángulos iguales (azul claro).

En la figura de la derecha se han formado dos cuadrados, uno de lado "b" y otro de lado "c". Para completar el área total se necesitan de nuevo cuatro triángulos rectángulos, lo mismo que en el caso anterior, lo que permite asegurar que el cuadrado de lado "a" tiene un área igual a la de la suma de los otros dos cuadrados.

Esta demostración tiene el encanto de ser muy gráfica y sencilla, sin apenas operaciones matemáticas.

Propiedades del triangulo rectángulo

Hay dos propiedades del triángulo rectángulo (un ángulo es recto) que tienen especial importancia para el desarrollo de conceptos más elaborados como son los de potencia e inversión que permiten desarrollar los modelos que analizan las tangencias Son los denominados teoremas de la altura y del cateto.

En la figura se ha representado un triángulo rectángulo que reposa sobre su hipotenusa. La altura del triángulo es la distancia del vértice "A" a la hipotenusa (su base).

.

 

Teoremas del cateto y de la altura.

Ambos teoremas se basan en el conocido teorema de Thales, que establece una relación entre los lados de dos triángulos semejantes.

Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, el tercero también lo es. Esto es así ya que la suma de los ángulos internos de un triángulo siempre son180º sexagesimales.

Para demostrar que dos triángulos son semejantes basta con demostrar que tienen dos ángulos iguales.

En la figura anterior podemos encontrar tres triángulos semejantes: ABC, ABH y HCA. Los tres triángulos tienen un ángulo recto, y dos a dos comparten un ángulo, luego el tercero vale lo mismo.

Podemos por tanto, aplicando Thales, establecer algunas igualdades como:

BA/BC = BH/BA o AH/HC = BH/AH

siendo BA la distancia entre los puntos A y B etc.

Los siguientes teoremas se obtienen directamente de las relaciones anteriores:

•Teorema del cateto-.El cateto de un triángulo rectángulo es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.

• BA es el valor de uno de los catetos,


• BC el de la hipotenusa


• BH es la proyección de BA sobre la hipotenusa

•Teorema de la altura-.La altura de un triángulo rectángulo medida sobre su hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos en que la divide.

• AH es la altura del triángulo medido sobre la hipotenusa


• BH y HC los dos segmentos en que divide la altura a la hipotenusa

Ejemplo de aplicación teorema del cateto

Datos (a, b, x. x = a. b ).

Incógnita ( Hallar el segmento x media proporcional, entre dos segmentos a , b dados)

Ejemplo de aplicación teorema de la altura

Datos (a, b, x. x = a. b ).

Incógnita ( Hallar el segmento x media proporcional, entre dos segmentos a , b dados)



 

Datos (m, s, x + y = s , x .y = m. m).

Incógnita (Hallar dos segmentos x e y conocida su suma s y su media proporcional  m o su producto m. m.)

Ejemplo de aplicación del triángulo rectángulo

Dados dos puntos A y B. Trazar por ellos dos rectas paralelas que disten la magnitud m dada.

Test de autoevaluación

Se deberá marcar V (verdadero) o F (Falso) cada una de las relaciones siguientes

Test 1

Utilizaremos diferentes subíndices para identificar a los elementos.

Por ejemplo, un triángulo tiene tres alturas. Si la medimos desde el vértice "A" la etiquetaremos con el subíndice "a" en minúscula.

Los lados opuestos a un vértice se etiquetarán con la misma letra pero en minúsculas

 Para contestar a las preguntas, se recomienda buscar primero las posibles relaciones que se derivan de aplicar los teoremas expuestos (cateto y altura).

Es interesante tratar de identificar gráficamente cada uno de los elementos que aparecen en la ecuación que se presenta.

El punto "H" se denomina pie de la altura hc

H divide a la hipotenusa en dos segmentos.

En este caso se ha utilizado incorrectamente la designación de los vértices del triángulo, ya que se debe usar la letra "A" para el que contiene el ángulo recto.

Recuerda que debes identificar gráficamente los segmentos que se relacionan con la figura.

El interés es formar gráficamente de forma que las expresiones matemáticas no sean el nucleo formativo. Las construcciones gráficas son las que deben primar en un aprendizaje de la geometría básica para poder alcanzar altos niveles de abstracción.

[caption id="" align="aligncenter" width="150" caption="Curso de Geometría Métrica"][/caption]

Este artículo está dedicado a la memoria del profesor D. Victorino González García, maestro de maestros, que me inculcó su amor por la geometría.

Geometría métrica