Geometría métrica : Problema de apolonio : rcc

Cualquiera de los problemas de tangencias que se engloban bajo la denominación de "problemas de Apolonio" puede ser reducido a una de las variantes estudiadas del más básico de todos ellos: el problema fundamental de tangencias (PFT).

En todos estos problemas nos plantearemos como objetivo fundamental reducir el problema que se proponga a uno de estos casos fundamentales, mediante el cambio de las restricciones que lo definen a otras basadas en conceptos de ortogonalidad.

En este caso vamos a estudiar el que denominamos "Caso de Apolonio rcc", es decir, el caso del problema de tangencias en el que los datos vienen dados mediante condiciones de tangencias a una recta (r) y dos circunferencias (cc).

Podemos enuncia por lo tanto el problema de la siguiente manera:

Determinar las circunferencias que son tangentes a una recta y a dos circunferencias

[caption id="attachment_17478" align="aligncenter" width="449"] Una de las cuatro posibles soluciones al problema[/caption]

El problema tiene hasta cuatro posibles soluciones, aspecto que deberá ser analizado con detalle para obtener aquella que cumpla con las condiciones del diseño que correspondan en cada caso.

Supongamos que los datos del problema vienen determinados por las circunferencias C1 y C2 de centros O1 y O2, y la recta r, tal y como se representa en la figura anterior.

Al estudiar la inversión en el plano vimos que se podían transformar rectas en circunferencias tomando centros de inversión en puntos de la circunferencia.

El radio de la circunferencia de autoinversión (IT) lo obtenemos a partir de la potencia de inversión IP*IP' = IQ*IQ' = IT*IT' aplicando las construcciones, por ejemplo, que hemos visto en el teorema del cateto.

Supongamos que la circunferencia "c" es una de las soluciones buscadas, tangente a la circunferencia c1. Si invertimos c1 y c con centro uno de los puntos de c1 (el I1), las circunferencias inversas seguiran siendo tangentes ya que la transformación es conforme. La circunferencia c1 se convertirá en una recta ya que I1 está sobre c1.

Si elegimos la potencia de forma que c sea doble, c=c', la recta transformada de c1 será tangente a c, y la circunferencia c=c' será ortogonal a la circunferencia de autoinversión.

Este análisis es el que nos permite obtener restricciones de ortogonalidad para ser utilizadas en nuestro problema, considerando las inversiones de potencia positiva que se dan entre las circunferencias y la recta.

En nuestro caso los centros I1 e I2 pueden considerarse centros de inversión que transforman las circunferencias c1 y c2 en la recta r.

En cada una de estas transformaciones, las circunferencias que buscamos, las soluciones, serán circunferencias dobles y por lo tanto deberán ser ortogonales a la de autoinversión.

El problema puede ser enunciado a partir de las nuevas circunferencias de autoinversión, ya que deben ser ortogonales a ellas:

Determinar las circunferencias ortogonales a dos y tangentes a una recta (o circunferencia)

Este nuevo enunciado es un caso del problema fundamental de tangencias, ya que las circunferencias ortogonales a dos dadas pertenecen al haz conjugado del que determinan. En este caso, el haz conjugado quedará determinado por los puntos límites L1 y L2 situados sobre su recta base.

La solución quedará determinada resolviendo este último problema:

Determinar las circunferencias de un haz que son tangentes a una recta (circunferencia).

Geometría métrica

Geometría métrica : Obtención del Eje radical de dos circunferencias

El eje radical de dos circunferencias es ellugar geométrico de los puntos de un plano que tienen igual potencia respecto de dos circunferencias.

Es una recta que tiene dirección perpendicular a la línea de centros de las circunferencias. Para determinar dicho eje será necesario por lo tanto conocer un único punto de paso.

Veremos cómo determinar el eje radical de dos circunferencias en los diferentes casos que podemos encontrarnos, que analizaremos en función de las posiciones relativas de las dos circunferencias.

Circunferencias secantes

Si las circunferencias son secantes conoceremos dos puntos de potencia nula, los de intersección de ambas circunferencias.

En este caso el eje radical lo obtendremos mediante la secante común a dichas circunferencias

Circunferencias tangentes

Al igual que en el caso anterior, existe un punto de potencia nula que se corresponde con el de tangencia de las dos circunferencias.

 

El eje radical pasará por este punto y tendrá la dirección perpendicular a la línea de centros y por lo tanto coincidirá con la recta tangente común a ambas circunferencias.

Circunferencias que no se cortan

Como conocemos la dirección del eje, quedará determinado en cuanto obtengamos un punto de paso.

Este punto lo determinaremos mediante el uso de una circunferencia auxiliar que corte a las dos circunferencias, que nos permitirá obtener el centro radical de las tres (punto de igual potencia)

Como caso particular de interés, podemos ver el caso en que las circunferencias sean de gran radio.

En este caso se calcula como en el anterior, por medio de una circunferencia auxiliar (en línea discontinua en la figura) que determina un punto "O" de igual potencia respecto de las dos circunferencias, ya que:

OA * OA' = OB*OB'

Este punto junto con el de intersección de las dos circunferencias, si lo hubiera, determinaría el eje. En otro caso, podríamos repetir esta construcción para determinar un segundo punto de paso.

También puede ser interesante generalizar estos conceptos en el caso de circunferencias de radio nulo (puntos) o infinito (rectas) y en otras posiciones particulares:

• ¿Eje radical de dos circunferencias concéntricas?


• ¿Eje radical de punto y circunferencia?


• ¿Eje radical de punto y recta?


• ¿Eje radical de dos puntos?

Geometría Métrica

El problema del campo de fútbol

Un curioso problema, que suelo proponer en clase a mis alumnos, en el que podemos utilizar los conocimientos geométricos aprendidos al estudiar el concepto de potencia, es el de determinar la posición óptima de disparo a una portería de fútbol desde una trayectoria dada.

Podemos suponer que el jugador que realiza el disparo tiene suficiente potencia para poder realizarlo desde cualquiera de los puntos de su trayectoria, siendo por tanto el más adecuado aquél que le ofrezca mayor ángulo de visualización de la portería como veremos a continuación.

Para simplificar el enunciado, sin restar generalidad al problema, supondremos que el jugador se encuentra en un punto P del campo y corre paralelo a la banda (según la dirección d). La portería quedará determinada por el segmento AB.

La posición del jugador le permitirá ver a la portería bajo un cierto ángulo "alfa". Nuestro problema será por lo tanto encontrar un nuevo punto de la trayectoria "d" desde el que este ángulo sea máximo.

Al repasar los conceptos de "arco capaz" sobre un segmento, podemos concluir que éste punto será aquél que pertenezca a una circunferencia que pase por los puntos A y B, que a la vez sea tangente a la recta d para que su diámetro sea mínimo.

Este planteamiento nos lleva a resolver el "Problema fundamental de tangencias" en el caso de dos puntos y una recta, que solucionábamos mediante los conceptos de potencia de un punto respecto a una circunferencia.

La recta AB será el eje radical de todas las circunferencias que pasan por dichos puntos, mientras que la recta "d" lo será de todas las que son tangentes a esta recta. El punto Cr de intersección de ambas rectas tendrá igual potencia respecto de las que pasan por A y B, y las tangentes a "d", por lo que podremos determinar este valor de potencia que será la distancia al punto solución.

En la figura se ha resuelto con una circunferencia auxiliar de diámetro AB. La potencia desde Cr será igual al cuadrado del segmento de tangencia que pasará por el punto T. El punto solución, S, distará esta longitud a Cr.

Geometría Métrica

Lugares geométricos: Diferencia de cuadrados de distancias a dos puntos fijos

El estudio de los diferentes lugares geométricos que aparecen en los modelos gráficos más comunes permite comprender y estructurar las construcciones gráficas que sirven para resolver muchos problemas clásicos.

Dados dos puntos fijos, B y C en la figura, se trata de determinar las posiciones que puede ocupar el punto A para que la diferencia entre los cuadrados de la distancia desde A a dichos puntos sea constante.

Para determinar este lugar geométrico haremos uso del teorema de pitágoras. Buscaremos triángulos rectángulos y relacionaremos la longitud de sus lados (distancia entre sus vértices)  mediante este célebre teorema.

En la figura supondremos que B y C son los puntos fijos, y A pertenece al lugar geométrico buscado. La distancia "a" entre B y C es un valor constante, no varía al ser B y C dos puntos fijos. Si se determina el punto medio M de este lado y el punto H en la perpendicular desde A al lado BC, obtendremos la altura h y la mediana m del triángulo ABC.

Aplicando pitágoras a los triángulos ABH y AHC tendremos:

Que nos relaciona los cuadrados de los lados de los triángulos (distancias buscadas). Si restamos una ecuación a la otra tendremos:

Esta ecuación nos indica que si queremos que la diferencia de cuadrados sea constante, el producto 2ad debe de serlo y, como a es un valor constante, el segmento d debe permanecer invariable.

Geométricamente debe mantenerse fijo el punto H y por lo tanto el punto A, que se encuentra sobre la altura del triángulo, debe permenecer sobre una recta perpendicular a BC que pase por H.

El lugar geométrico de puntos cuya diferencia de cuadrados de distancias a dos puntos fijos es constante, es una recta perpendicular al segmento que determinan los puntos fijos.

Este lugar geométrico es de gran interés para el estudio del eje radical de dos circunferencias.

Geometría Métrica

Aplicación del teorema de Pitágoras: Ecuación de la circunferencia

Una de las primeras aplicaciones que podemos encontrar en el teorema de Pitágoras, es su uso en la determinación de la ecuación de una circunferencia.

La relación métrica entre los dos catetos de un triángulo rectángulo son esencialmente la expresión del concepto de medida euclídeo.

Los puntos de una circunferencia se encuentran a igual distancia del centro de la misma (O).

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad constante llamada radio.(W)

Para determinar la ecuación de la circunferencia analizaremos primero el caso en que ésta se encuentre con su centro en el origen del sistema de referencia, para generalizar a continuación a cualquier posición del plano.

La distancia de cualquier punto P(x,y) de la circunferencia a su centro O es igual a su radio R. En la figura se aprecia que es la hipotenusa de un triángulo rectángulo que tiene por catetos a las coordenadas x e y del punto P. Por ello, aplicando el teorema de pitágoras:

Si desplazamos el centro de la circunferencia a un punto de coordenadas (Xo, Yo), como se aprecia en la figura:

los puntos de la circunferencia seguiran a distancia R del centro, pero en este caso los catetos del triángulo ya no serán las coordenadas, sino la diferencia entre estas y las del centro. La nueva ecuación será:

Podemos desarrollar esta ecuación y agrupar los coeficientes y las variables de forma ordenada, con lo que tendremos:

O simplificar agrupando

Siendo

Una aplicación directa por lo tanto de un teorema de gran importancia en la geometría.

[caption id="" align="aligncenter" width="150"] Curso de Geometría Métrica[/caption]

Fundamentos del Sistema Diédrico

Hemos visto al presentar los Sistemas de Representación que la geometría descriptiva es el conjunto de técnicas de carácter geométrico que permite representar el espacio tridimensional sobre una superficie bidimensional.

En particular veremos con detalle el denominado "Sistema diédrico" (ver la clasificación de los sistemas de representación) que se basa en las relaciones perspectivas que aparecen en la proyección cilíndrica ortogonal sobre dos planos de proyección.

Proyección ortogonal

Para entender en profundidad el modelo basado en la proyección cilíndrica ortogonal repasaremos previamente algunos teoremas espaciales que nos facilitaran el análisis.

Una recta es perpendicular a un plano si lo es a dos rectas no paralelas contenidas en dicho plano.

La proyección de un punto (P) del espacio sobre un determinado plano de proyección se obtiene determinando la recta "r" que contiene al punto y es perpendicular a dicho  plano, por lo tanto perpendicular a dos rectas cualesquiera "a" y "b" que no sean paralelas de dicho plano.

La proyección P' será la intersección de la recta r con el plano.

Otro teorema espacial que será de gran utilidad es el siguiente:

Si una recta es perpendicular a un plano, todos los planos que la contengan también son ortogonales a dicho plano.

Si la recta r es perpendicular al plano, los planos que determina con las rectas que pasan por P' (a, b, etc) son planos ortogonales al primero.

Podemos pensar que la recta r es la línea de bisagras de una puerta y los planos las infinitas posiciones que ocupa al girar sobre su eje.

Por último necesitaremos establecer una relación entre tres planos ortogonales entre si:

Si un plano es perpendicular a otros dos planos, lo es a la recta intersección de estos.

La recta intersección de los dos planos, i, es la dirección común a ambos planos. Los tres planos se cortarán en un punto I.

Si proyectamos ortogonalmente el punto (P) sobre los planos H y V, las rectas (P)-P' y (P)-P'' serán ortogonales a ellos respectivamente.

El plano que contenga a (P)-P' será ortogonal al plano H y de forma análoga, el plano que contenga a la recta (P)-P'' lo será a V. Por lo tanto, si consideramos el plano formado por los puntos (P)-P'-P'' y el punto I, este será perpendicular a V y H y por lo tanto a su dirección común, recta i.

Esta última propiedad nos permitirá establecer la relación perspectiva que existe entre dos proyecciones vinculadas.

Sistema diédrico

Si abatimos el plano horizontal de proyección sobre el plano vertical ( o al revés), podremos ver las dos proyecciones sobre un mismo plano.

Al abatir el plano horizontal H sobre el vertical V obtendremos dos proyecciones ortogonales sobre un mismo plano que haremos coincidir con el del dibujo.

Este modelo de representación se conoce con el nombre de "Sistema diédrico" ya que necesitaremos las proyecciones sobre dos planos ortogonales, al menos, para determinar inequívocamente las posiciones en el espacio de los puntos representados.

El proceso de "restitución" espacial debe permitir saber cómo se encuentran localizados en el espacio los elementos geométricos representados en este sistema.

Podemos observar que al abatir el plano horizontal sobre el vertical, las proyecciones P' y P'' quedan alineadas en una recta que es perpendicular a la intersección i de ambos planos. Esta línea se denomina "Línea de referencia" entre las proyecciones de los puntos. A la recta i se la conoce con el nombre de "Línea de tierra"

Las líneas de referencia entre dos proyecciones son ortogonales a la correspondiente línea de tierra.

Veremos que podemos prescindir de la línea de tierra cuando desarrollemos el sistema. De momento nos sirve para entender la esencia del mismo.

Podemos etiquetar de diferente forma a las proyecciones sobre los planos. Algunas biografías utilizan subíndices, otras tildes o números romanos.

Normalmente la proyección sobre el plano horizontal se conocerá como "la primera" proyección, sobre el vertical será "la segunda" y sobre un tercer plano ortogonal a los anteriores, denominado plano de perfil, tendremos "la tercera" proyección.

Siguiente lección ... Proyección de la recta

[caption id="attachment_13573" align="aligncenter" width="400"] Sistemas_de_representacion[/caption]

El problema de los dos pueblos y el puente

Uno de los primeros problemas de geometría métrica que propongo a mis alumnos sirve para iniciar el modelo geométrico de análisis a la vez que repasamos las transformaciones básicas estudiadas en etapas anteriores.

El problema se plantea como un caso real de estudio, aderezado con una historia que varía según se profundiza en el análisis, y de forma jocosa lo denomino "El puente sobre el río Guay", o el "problema de los dos pueblos y el puente".

La idealización del caso de estudio es sencilla y, como veremos, es una curiosa introducción a la teoría de resolución de problemas mediante geometría aplicada.

Dos pueblos tienen que construir un puente que cruce un río y permita a sus ciudadanos pasar de uno a otro. Como tienen que pagarlo entre ambos, quisieran que su situación "equidistara" de ambos pueblos.

Tenemos que encontrar por lo tanto una posición en el río cuya distancia "d" a los dos pueblos sea la misma.

[caption id="attachment_16953" align="aligncenter" width="334"] El problema del puente para unir dos pueblos[/caption]

El primer paso es buscar un modelo geométrico sencillo que idealice el problema, expresado en términos básicos de la geometría, es decir, puntos y rectas. Cada objeto puede ser representado mediante la figura geométrica que más se aproxime a su forma o, en un nivel de abstracción mayor, por cualquier elemento geométrico que nos interese por una u otra propiedad.

Podemos suponer que los pueblos se idealizan como puntos (representados como círculos) y el río como una curva o línea recta.

[caption id="attachment_16954" align="aligncenter" width="303"] Idealización del problema[/caption]

Geométricamente la solución es sencilla. El puente, representado por el punto "P" se encuentra a igual distancia de los dos pueblos, puntos "A" y "B", luego debe estar en la mediatriz "m" del segmento "AB"

[caption id="attachment_16956" align="aligncenter" width="281"] Solución básica del problema[/caption]

La solución propuesta se basa en suponer que el puente es un punto (en la idealización que hemos realizado) ya que el río lo hemos reducido a una línea sin espesor. El análisis interesante del problema empieza cuando suponemos que el río tiene un cierto espesor y, en consecuencia, la distancia que debemos medir es desde cada punto a la posición del puente situado en la orilla más próxima a cada pueblo.

[caption id="attachment_16960" align="aligncenter" width="274"] Puente sobre un río ancho[/caption]

El modelo anterior ya no es válido, ni aunque consideremos la línea media del río. ¿En qué ha cambiado el problema? Interesaría describir este cambio en términos geométricos. ¿Podemos adaptar la solución anterior con alguna modificación?

En este punto del análisis suelo terminar el problema. Dejo las preguntas en el aire para que mis alumnos lo piensen y traten de encontrar la solución por ellos mismos. Os dejaré la misma incógnita en el aire ... dentro de unos días publicaré la solución en este enlace:

• Solución al problema de los dos pueblos y el puente