Un haz parabólico de esferas, tangentes en un punto a un mismo plano con textura de cristal ha servido para realizar este interesante render. Se ha utilizado una textura de cuadros para definir el plano del suelo y establecer una referencia de horizonte en la imagen.
La imagen se ha confeccionado con Blender, renderizándose con Cycles
Si consideramos que las circunferencias que pasan por dos puntos pertenecen a un haz de circunferencias elíptico, podemos generalizar el problema fundamental de tangencias (PFT) enunciándolo de la siguiente manera:
Circunferencias de un haz hiperbólico tangentes a una recta[/caption]La solución pasa por determinar un punto de igual potencia, Cr, respecto de la condición de tangencia y respecto del haz al que pertenece la solución. Si la condición es respecto de una recta, el punto buscado estará en la intersección de esta recta con el eje radical.
Si la condición de tangencia es respecto de una circunferencia deberemos localizar igualmente el punto de igual potencia respecto del haz y la circunferencia, para lo que deberemos obtener un eje radical auxiliar (e2) entre la condición de tangencia y cualquier circunferencia del haz.
La potencia de este punto, Cr, respecto de la condición de tangencia determinará los puntos de contacto entre esta circunferencia y las soluciones pertenecientes al haz.
Los haces de circunferencias hiperbólicos se encuentran entre estas familias de circunferencias. De los tres tipos existentes (elípticos, parabólicos e hiperbólicos) son los que ofrecen mayor dificultad en su conceptualización al no venir definidos por puntos de paso. Veremos cómo determinar elementos que les pertenecen tal y como realizamos en los casos anteriores.
Dadas dos circunferencias no secantes entre sí, el eje radical “e” de las circunferencias es el lugar geométrico de puntos del plano que tienen igual potencia respecto de ambas circunferencias. Esta recta es perpendicular a la que contiene los centros de las circunferencias, y contiene a los centros de las circunferencias ortogonales (perpendiculares) a las del haz.
Dadas dos circunferencias no secantes, podemos determinar una circunferencia ortogonal a ambas con centro el punto O de intersección entre su eje radical e y la recta base b que contiene a ambos centros. El punto O se conoce con el nombre de centro del haz.
Para ello determinaremos la tangente desde O (centro del haz) a cualquiera de las circunferencias. Esta circunferencia es ortogonal a ambas por tener el radio igual a la raiz de la potencia desde O, y corta en dos puntos L1 y L2 a la recta base, denominados puntos límites, que son a su vez circunferencias del haz.
Las infinitas circunferencias de un haz de circunferencias hiperbólico son ortogonales a la que tiene su centro en el del haz, O, y radio la potencia desde este punto a cualquiera de las circunferencias. Los puntos límites son circunferencias del haz de radio nulo.
El eje radical de cualquier pareja de circunferencias de este haz es la recta e.
Todos los centros de las circunferencias del haz se encuentran en una recta, b, denominada recta base del haz.
De las infinitas circunferencias de una haz elíptico, sólo una pasa por un punto dado. Veamos cómo determinar el centro de una circunferencia del haz que pase por un punto P cualquiera.
La solución, su centro, se determina por lo tanto mediante la intersección de dos lugares geométricos, la recta base y el eje radical del punto de paso y una circunferencia ortogonal al haz (cualquiera de las que pasa por los puntos límites).
La condición de tangencia viene determinada por una recta t cualquiera que no coincida ni con la recta base b ni con el eje radical e. El haz puede quedar definido por sus puntos límites L1 y L2 o por dos de las circunferencias que le pertenecen.
Para resolver el problema buscaremos un punto Cr, del eje radical e, que tenga igual potencia respecto de las circunferencias del haz, y que pertenezca, a su vez, a la recta t ya que ésta última es el eje radical de las circunferencias que le son tangentes. Vemos pues, que Cr es el centro radical de la recta t (circunferencia de radio infinito) y las circunferencias del haz parabólico.
Como se aprecia en la figura, la potencia de Cr respecto de todas las circunferencias del haz la podemos determinar encontrando la tangente (al cuadrado) a cualquier circunferencia del haz (en este caso lla distancia a los puntos límites). Esta distancia es la que habrá también a los puntos de tangencia de las soluciones buscadas. Tenemos dos soluciones ya que podemos llevar esta distancia Cr-L1 a ambos lados de Cr sobre la recta t.
La generalización del problema la tenemos cuando la condición de tangencia es respecto de una circunferencia t cualquiera.
En este caso, de nuevo, determinaremos un punto Cr que tenga igual potencia respecto de la circunferencia que marca la condición de tangencia y cualquiera de las del haz hiperbólico (por ejemplo los puntos límites), por lo que debe encontrarse en su eje radical.
Las soluciones pasarán por los puntos T1 y T2 situados sobre las tangentes trazadas desde Cr, ya que se encuentran a distancia la raíz de la potencia que hemos calculado como en el caso anterior.
Los centros de las soluciones se encontraran alineados con el centro de la circunferencia t y los correspondientes puntos de contacto.
Por último, podemos ver en la figura siguiente el haz conjugado (ortogonal) de un haz hiperbólico, que, como analizaremos posteriormente, es otro elíptico de recta base el eje radical del anterior. Vemos que los puntos límites del haz hiperbólico coinciden con los puntos fundamentales del elíptico.
Los haces de circunferencias elípticos se encuentran entre estas familias de circunferencias. Veremos cómo determinar elementos que les pertenecen.
Dadas dos circunferencias secantes en un par de puntos, el eje radical “e” de las circunferencias coincide con la cuerda común a ambas circunferencias. Esta recta es perpendicular a la que contiene los centros de las circunferencias.
Las infinitas circunferencias que pasan por un par de puntos, determinan un haz de circunferencias elíptico. Los puntos comunes a todas ellas se denominan puntos fundamentales del haz
Todos los centros de las circunferencias del haz se encuentran en una recta, b, denominada recta base del haz.
De las infinitas circunferencias de una haz elíptico, sólo una pasa por un punto dado. Veamos cómo determinar el centro de una circunferencia del haz que pase por un punto P cualquiera.
La solución, su centro, se determina por lo tanto mediante la intersección de dos lugares geométricos, la recta base y la mediatriz del segmento AP que contiene a dos puntos de paso.
La condición de tangencia viene determinada por una recta t cualquiera que no coincida ni con la recta base b ni con el eje radical e. El haz puede quedar definido por sus puntos fundamentales A y B por los que pasan todas las circunferencias que le pertenecen.
Para resolver el problema buscaremos un punto Cr, del eje radical e, que tenga igual potencia respecto de las circunferencias del haz, y que pertenezca, a su vez, a la recta t ya que ésta última es el eje radical de las circunferencias que le son tangentes. Vemos pues, que Cr es el centro radical de la recta t (circunferencia de radio infinito) y las circunferencias del haz parabólico.
Como se aprecia en la figura, la potencia de Cr respecto de todas las circunferencias del haz la podemos determinar encontrando la tangente (al cuadrado) a cualquier circunferencia del haz (en este caso la de diámetro AB). Esta distancia es la que habrá también a los puntos de tangencia de las soluciones buscadas. Tenemos dos soluciones ya que podemos llevar esta distancia Cr-O a ambos lados de Cr sobre la recta t.
La generalización del problema la tenemos cuando la condición de tangencia es respecto de una circunferencia t cualquiera.
En este caso, de nuevo, determinaremos un punto Cr que tenga igual potencia respecto de la circunferencia que marca la condición de tangencia y cualquiera de las del haz elíptico, por lo que debe encontrarse en su eje radical.
Las soluciones pasarán por los puntos T1 y T2 situados sobre las tangentes trazadas desde Cr, ya que se encuentran a distancia la raíz de la potencia que hemos calculado como en el caso anterior.
Los centros de las soluciones se encontraran alineados con el centro de la circunferencia t y los correspondientes puntos de contacto.
Por último, podemos ver en la figura siguiente el haz conjugado (ortogonal) de un haz elíptico, que, como analizaremos posteriormente, es otro hiperbólico de recta base el eje radical del anterior.
Los haces de circunferencias parabólicos se encuentran entre estas familias de circunferencias. Veremos cómo determinar elementos que les pertenecen.
Dadas dos circunferencias tangentes en un punto O, el eje radical "e" de las circunferencias coincide con la recta tangente común a ambas circunferencias. Esta recta es perpendicular a la que contiene los centros de las circunferencias.
Las infinitas circunferencias tangentes a dos circunferencias tangentes entre sí en un punto O, determinan un haz de circunferencias parabólico. El punto O se denomina centro del haz.
El eje radical de cualquier pareja de circunferencias de este haz es la recta e.
Todos los centros de las circunferencias del haz se encuentran en una recta, b, denominada recta base del haz.
De las infinitas circunferencias de una haz parabólico, sólo una pasa por un punto dado que no sea el centro O del haz. Veamos cómo determinar el centro de una circunferencia del haz que pase por un punto P cualquiera.
La circunferencia buscada tendrá su centro O1 en la recta base, b, y pasará por los puntos P y O, por lo que también lo tendrá en la mediatriz de estos puntos.
La solución, su centro, se determina por lo tanto mediante la intersección de dos lugares geométricos, la recta base y la mediatriz del segmento PO que contiene a dos puntos de paso.
Para resolver el problema buscaremos un punto Cr, del eje radical e, que tenga igual potencia respecto de las circunferencias del haz, y que pertenezca, a su vez, a la recta t ya que ésta última es el eje radical de las circunferencias que le son tangentes. Vemos pues, que Cr es el centro radical de la recta t (circunferencia de radio infinito) y las circunferencias del haz parabólico.
Como se aprecia en la figura, la potencia de Cr respecto de todas las circunferencias del haz la podemos determinar encontrando la distancia (al cuadrado) al centro O del haz. Esta distancia es la que habrá también a los puntos de tangencia de las soluciones buscadas. Tenemos dos soluciones ya que podemos llevar esta distancia Cr-O a ambos lados de Cr sobre la recta t.
En este caso, de nuevo, determinaremos un punto Cr que tenga igual potencia respecto de la circunferencia que marca la condición de tangencia y cualquiera de las del haz parabólico, por lo que debe encontrarse en su eje radical.
Los centros de las soluciones se encontraran alineados con el centro de la circunferencia t y los correspondientes puntos de contacto.
Por último, podemos ver en la figura siguiente el haz conjugado (ortogonal) de un haz parabólico, que puede deducirse que es otro parabólico de recta base el eje radical del anterior.
Podemos decir por lo tanto que en el plano hay un conjunto triplemente infinito de circunferencias, por lo que si fijamos dos restricciones, o parámetros, nos quedará un conjunto simplemente infinito que denominaremos "haz de circunferencias"
Un haz de circunferencias es un conjunto simplemente infinito de ellas.
Ecuación de la circunferencia[/caption]Nos interesan las famílias de circunferencias que comparten un mismo eje radical, y tienen sus centros sobre una recta (denominada base del haz). A este conjunto le denominaremos "haz de circunferencias corradical".
El punto O de intersección entre la recta base y el eje radical se denomina centro del haz.
Un haz de circunferencias corradicales es un conjunto simplemente infinito de circunferencias con eje radical común (y centros alineados en una recta base).
Recíprocamente, dada una circunferencia c y una recta e coplanaria con ella, se pueden hallar todas las circunferencias (haz) que tienen, con la primera, a la recta e por eje radical.
Existen tres familias que pueden diferenciarse en cuanto a las intersecciones de sus miembros, o la posición del eje radical respecto de las circunferencias. La clasificación puede servir para tratar de forma homogénea estas circunferencias, adaptando las construcciones básicas a cada caso:
Cuando la recta e, eje radical, es secante a la circunferencia el haz se denomina elíptico.
Todas las circunferencias pasan por dos puntos del eje radical denominados puntos fundamentales del haz.
La circunferencia de menor radio tiene por diámetro la distancia entre los puntos fundamentales.
Cuando la recta e, eje radical, es tangente a la circunferencia el haz se denomina parabólico.
Todas las circunferencias del haz son tangentes al eje radical en el centro del haz.
La circunferencia de menor radio es un punto, radio nulo, coincidente con el centro del haz, por lo que a este punto se le denomina punto límite (O = L) .
Cuando la recta e, eje radical, no corta a la circunferencia el haz se denomina hiperbólico.
Las circunferencias del haz hiperbólico no se cortan entre sí
Existen dos circunferencias de radio nulo que se denominan puntos límites del haz o "polos" (conocidos como puntos de Poncelet), que veremos en detalle al analizar esta familia de circunferencias.
Nota: Este tema, desarrollado durante un verano por el profesor D. Victorino González García, está dedicado a su memoria.
En todos estos problemas nos plantearemos como objetivo fundamental reducir el problema que se proponga a uno de estos casos fundamentales, mediante el cambio de las restricciones que lo definen a otras basadas en conceptos de ortogonalidad.
En este caso vamos a estudiar el que denominamos "Caso de Apolonio rcc", es decir, el caso del problema de tangencias en el que los datos vienen dados mediante condiciones de tangencias a una recta (r) y dos circunferencias (cc).
Podemos enuncia por lo tanto el problema de la siguiente manera:
Determinar las circunferencias que son tangentes a una recta y a dos circunferencias
Una de las cuatro posibles soluciones al problema[/caption]El problema tiene hasta cuatro posibles soluciones, aspecto que deberá ser analizado con detalle para obtener aquella que cumpla con las condiciones del diseño que correspondan en cada caso.
Supongamos que los datos del problema vienen determinados por las circunferencias C1 y C2 de centros O1 y O2, y la recta r, tal y como se representa en la figura anterior.
Al estudiar la inversión en el plano vimos que se podían transformar rectas en circunferencias tomando centros de inversión en puntos de la circunferencia.
El radio de la circunferencia de autoinversión (IT) lo obtenemos a partir de la potencia de inversión IP*IP' = IQ*IQ' = IT*IT' aplicando las construcciones, por ejemplo, que hemos visto en el teorema del cateto.
Supongamos que la circunferencia "c" es una de las soluciones buscadas, tangente a la circunferencia c1. Si invertimos c1 y c con centro uno de los puntos de c1 (el I1), las circunferencias inversas seguiran siendo tangentes ya que la transformación es conforme. La circunferencia c1 se convertirá en una recta ya que I1 está sobre c1.
Si elegimos la potencia de forma que c sea doble, c=c', la recta transformada de c1 será tangente a c, y la circunferencia c=c' será ortogonal a la circunferencia de autoinversión.
Este análisis es el que nos permite obtener restricciones de ortogonalidad para ser utilizadas en nuestro problema, considerando las inversiones de potencia positiva que se dan entre las circunferencias y la recta.
En nuestro caso los centros I1 e I2 pueden considerarse centros de inversión que transforman las circunferencias c1 y c2 en la recta r.
En cada una de estas transformaciones, las circunferencias que buscamos, las soluciones, serán circunferencias dobles y por lo tanto deberán ser ortogonales a la de autoinversión.
El problema puede ser enunciado a partir de las nuevas circunferencias de autoinversión, ya que deben ser ortogonales a ellas:
Determinar las circunferencias ortogonales a dos y tangentes a una recta (o circunferencia)
Este nuevo enunciado es un caso del problema fundamental de tangencias, ya que las circunferencias ortogonales a dos dadas pertenecen al haz conjugado del que determinan. En este caso, el haz conjugado quedará determinado por los puntos límites L1 y L2 situados sobre su recta base.
La solución quedará determinada resolviendo este último problema:
Determinar las circunferencias de un haz que son tangentes a una recta (circunferencia).
Es una recta que tiene dirección perpendicular a la línea de centros de las circunferencias. Para determinar dicho eje será necesario por lo tanto conocer un único punto de paso.
Veremos cómo determinar el eje radical de dos circunferencias en los diferentes casos que podemos encontrarnos, que analizaremos en función de las posiciones relativas de las dos circunferencias.
Si las circunferencias son secantes conoceremos dos puntos de potencia nula, los de intersección de ambas circunferencias.
En este caso el eje radical lo obtendremos mediante la secante común a dichas circunferencias
Al igual que en el caso anterior, existe un punto de potencia nula que se corresponde con el de tangencia de las dos circunferencias.
El eje radical pasará por este punto y tendrá la dirección perpendicular a la línea de centros y por lo tanto coincidirá con la recta tangente común a ambas circunferencias.
Como conocemos la dirección del eje, quedará determinado en cuanto obtengamos un punto de paso.
Este punto lo determinaremos mediante el uso de una circunferencia auxiliar que corte a las dos circunferencias, que nos permitirá obtener el centro radical de las tres (punto de igual potencia)
Como caso particular de interés, podemos ver el caso en que las circunferencias sean de gran radio.
En este caso se calcula como en el anterior, por medio de una circunferencia auxiliar (en línea discontinua en la figura) que determina un punto "O" de igual potencia respecto de las dos circunferencias, ya que:
OA * OA' = OB*OB'
Este punto junto con el de intersección de las dos circunferencias, si lo hubiera, determinaría el eje. En otro caso, podríamos repetir esta construcción para determinar un segundo punto de paso.
También puede ser interesante generalizar estos conceptos en el caso de circunferencias de radio nulo (puntos) o infinito (rectas) y en otras posiciones particulares:
