Geometría métrica : Determinación de circunferencias de radio conocido con condiciones angulares

Los problemas de determinación de circunferencias con radio conocido que cumplen restricciones geométricas son ejercicios de naturaleza similar a los vistos para rectas.

Estos problemas se resuelven mediante la intersección de lugares geométricos.

En particular, si consideramos a la recta como circunferencia de radio infinito, estaremos por tanto en el caso estudiado de determinación de rectas con condiciones angulares.

Condición angular respecto de rectas

Iniciaremos el análisis con condiciones de tangencia (ángulo cero) para determinar el lugar geométrico de centros de circunferencias de radio conocido que son tangentes a una recta r. Posteriormente generalizaremos estos lugares geométricos para cualquier ángulo de incidencia.

Para determinar una circunferencia necesitaremos tres restricciones geométricas. En el problema propuesto tendremos como datos el radio de la circunferencia y la condición de tangencia, quedando un grado de libertad para definir dicha circunferencia.

Tendremos por tanto infinitas soluciones y, en consecuencia, un lugar geométrico para sus centros.

Supongamos que buscamos la que pasa por un punto T de tangencia concreto en la recta r. El centro O se encontrará en la perpendicular a r por el punto T, a distancia R (radio de la circunferencia). Si desplazamos el punto T a lo largo de r encontraremos los infinitos centros de las soluciones y, en consecuencia, el lugar geométrico de sus centros LG es una recta paralela a la anterior a distancia R.

[caption id="attachment_13963" align="aligncenter" width="456" caption="Lugar geométrico centros de circunferencias tangentes a recta"][/caption]

En realidad tendremos dos posibles lugares geométricos, ya que la distancia R que hemos tomado desde el punto de tangencia T se puede llevar en los dos sentidos sobre la dirección perpendicular.

[caption id="attachment_13967" align="aligncenter" width="473" caption="Centros de circunferencias de radio conocido tangentes a una recta"][/caption]

Si en lugar de considerar una restricción de tangencia usamos una condición angular, el problema no difiere mucho.

Determinaremos una solución (la que pasa por un punto P) y generalizaremos el lugar geométrico. Para ello, en el punto P buscaremos una recta t que forme con la recta r la condición angular. Esta recta t será la tangente a la circunferencia en el punto P y su centro se encontrará en la perpendicular a ella y a distancia R.

De nuevo nos encontramos con dos posibles rectas como lugares geométricos para los posibles centros de las soluciones.

[caption id="attachment_13968" align="aligncenter" width="524" caption="Centros de circunferencias incidentes según un ángulo dado con una recta"][/caption]

Condición angular respecto de circunferencias

Si la condición angular es respecto de una circunferencia, el procedimiento para la determinación del lugar geométrico de los centros es similar. Buscaremos una solución que pase por un punto de la circunferencia y determinaremos el lugar geométrico.

Si la condición es de tangencia, en un punto T cualquiera determinaremos la tangente t y el centro se encontrará a distancia R según la dirección perpendicular a dicha tangente. Vemos que en este caso los lugares geométricos son dos circunferencias concéntricas con que nos han dado como dato, c, con radios la suma o diferencia de radios del de c y el valor R.

[caption id="attachment_13971" align="aligncenter" width="460" caption="Centros de circunferencias de radio dado tangentes a una circunferencia"][/caption]

 Si la condición es un ángulo cualquiera deberemos determinar la tangente a c en un punto cualquiera P y obtener una recta que pase por dicho punto y forme el ángulo dado. Esta recta será la tangente a la solución que buscamos y su centro se encontrará en la perpendicular a distancia R.

[caption id="attachment_13972" align="aligncenter" width="443" caption="Circunferencia de radio dado que forma un ángulo con otra circunferencia"][/caption]

En la figura anterior sólo se ha determinado uno de los dos lugares geométricos. El otro lo obtendríamos trazando una recta con la condición angular en el otro sentido.

Notese que la condición de paso por un punto es lo mismo que considerar que la circunferencia dato tiene un radio nulo, de forma análoga a pensar que una condición respecto de una recta es suponer que el radio es de longitud infinita.

Aplicación a la resolución de problemas

Podemos resolver diferentes problemas en los que se conoce el radio de la circunferencia buscada mediante la intersección de los lugares geométricos que hemos visto. Necesitaremos imponer dos condiciones geométricas adicionales para completar el problema:

• Que pasan por dos puntos


• Que pasan por un punto y son tangentes a una recta


• Que pasan por un punto y son tangentes a una circunferencia


• Que pasan por un punto y forman un ángulo con una recta


• Que pasan por un punto y forman un ángulo con una circunferencia


• Que son tangentes a dos rectas


• Que son tangentes a dos circunferencias


• Que son tangentes a una recta y una circunferencia


• Que forman un ángulo con una recta y son tangentes a otra recta


• Que forman un ángulo con una circunferencia y son tangentes a otra recta


• Que forman un ángulo con una recta y otro con otra recta


• Que forman un ángulo con una circunferencia y otro con otra recta


• Que forman un ángulo con una circunferencia y otro con otra circunferencia

Intersección de lugares geométricos

Veamos por último un ejemplo de aplicación de los enunciados en los que apliquemos la intersección de estos lugares geométricos en su resolución.

Supongamos el siguiente problema:

Determinar las circunferencias de radio conocido que son tangentes a una recta y a una circunferencia

[caption id="attachment_13973" align="aligncenter" width="508" caption="Lugares geométricos. Enunciado del problema"][/caption]

Con la condición de tangencia y el radio dado obtendríamos los lugares geométricos correspondientes.

[caption id="attachment_13974" align="aligncenter" width="490" caption="Obtenemos lo lugares geométricos"][/caption]

Determinamos los puntos de intersección de dichos lugares geométricos que serán los centros de las circunferencias buscadas

[caption id="attachment_13975" align="aligncenter" width="550" caption="Soluciones mediante la intersección de los lugares geométricos"][/caption]

Vemos que el número de soluciones depende del número de puntos de intersección, consecuencia de las posiciones relativas de los datos.

Geometría métrica

Geometría métrica : Determinación de rectas con condiciones angulares

La determinación de una recta en el plano exige dos restricciones geométricas; entre las condiciones más empleadas se encuentran las de paso o pertenencia a un punto y las de tipo angular (forma un determinado ángulo con otra recta o circunferencia).

Analizaremos las condiciones angulares respecto de una circunferencia dada para establecer un método de obtención de soluciones por reducción a problemas de tangencias, válido para una o dos condiciones angulares.

Supongamos el siguiente problema:

Dada una circunferencia c de centro O y radio dado, y un punto P exterior a la misma, determinar las rectas que pasan por dicho punto y forman un ángulo dado con la circunferencia.

[caption id="attachment_13941" align="aligncenter" width="233" caption="Punto y circunferencia datos del problema"][/caption]

En nuestro problema el ángulo es un dato del problema, por ejemplo 45º.

Hemos visto, al estudiar las nociones sobre ángulos, que el ángulo que forman una recta y una circunferencia es el que forma la recta con la tangente a la circunferencia en el punto de corte entre ambas.

Si el punto P estuviera sobre la circunferencia (T), la solución sería inmediata. Obtendríamos la tangente en T y a continuación, con el valor del ángulo, determinaríamos la dirección de la recta (r). El punto de corte de la recta con la circunferencia sería el propio punto P=T.

[caption id="attachment_13945" align="aligncenter" width="346" caption="Recta que forma un ángulo con una circunferencia"][/caption]

Si giramos la recta con centro el de la circunferencia (O), el ángulo entre la recta girada y la circunferencia no cambia. Las infinitas posiciones de esta recta, al girar, son tangentes a una circunferencia g concéntrica de la anterior c. Esta circunferencia (g) se denomina goniómetra.

[caption id="attachment_13947" align="aligncenter" width="369" caption="Circunferencia goniómetra g"][/caption]

Podemos cambiar la condición angular de la recta respecto de la circunferencia c, por una condición de tangencia a la circunferencia goniómetra g.

Para resolver por tanto el problema determinaremos primero la circunferencia goniómetra con la condición angular, y obtendremos las tangentes a la misma desde el punto P. Necesitaremos un arco capaz de 90º entre el centro O común a las circunferencias y el punto P, para determinar los puntos de tangencia en g.

[caption id="attachment_13948" align="aligncenter" width="376" caption="Rectas que pasan por un punto y forman un ángulo con una circunferencia"][/caption]

Los puntos I1 e I2 de tangencia a la goniómetra serán los puntos de paso de las soluciones buscadas.

La circunferencia goniómetra nos permite por tanto cambiar condiciones geométricas de angularidad por otras de tangencia que podremos aplicar en la resolución de otros problemas similares.

Como ejercicio para el lector se propone determinar las rectas que forman ángulos determinados con dos circunferencias diferentes, o un ángulo con una recta y simultáneamente otro con una circunferencia.

Geometría métrica

Geometría métrica: Nociones sobre ángulos

Los elementos geométricos en el plano que se cortan, rectas y circunferencias, pueden caracterizar su intersección mediante un valor denominado ángulo.

La noción de ángulo entre dos rectas es la más elemental entre las que se dan entre rectas y circunferencias, y sirve de referencia para definir el ángulo entre recta y circunferencia o el que forman dos circunferencias coplanarias.

Para definir un ángulo debemos recordar que una recta r divide a un plano en dos semiplanos.

[caption id="attachment_13927" align="aligncenter" width="237" caption="La recta r divide al plano en dos semiplanos"][/caption]

Una nueva recta s dividirá al plano en dos nuevos semiplanos, cuya intersección con los anteriores determinarán cuatro regiones de área infinita, pero iguales dos a dos.

[caption id="attachment_13928" align="aligncenter" width="264" caption="Intersección de semiplanos"][/caption]

Existen tres sistemas de medida de los ángulos:

• Radianes : Valores comprendidos entre 0 y dos veces el valor de PI


• Sexagesimal: Valores comprendidos entre cero y 360


• Centesimal: Valores comprendidos entre cero y 400

Ángulo entre dos rectas

El concepto de ángulo se usa para medir o caracterizar un área infinita, una porción del plano que a su vez es la intersección de dos semiplanos.

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice. Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal. (W)

Las primeras definiciones que se diero de estos conceptos se denominan definiciones clásicas:

Euclides define un ángulo como la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta. Según Proclo, un ángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado por Eudemo de Rodas, que describió un ángulo como desviación de una línea recta; el segundo por Carpo de Antioquía, que lo vio como el intervalo o el espacio entre las líneas que se intersecaban; Euclides adoptó un tercer concepto, aunque sus definiciones de ángulos rectos, agudos, y obtusos son cuantitativas. (W)

El valor del ángulo entre dos rectas siempre se da como el menor de los dos que determinan.

Ángulo entre recta y circunferencia

[caption id="attachment_13931" align="alignleft" width="150" caption="Ángulo entre recta y circunferencia"][/caption]

Para definir el ángulo que forman una recta y una circunferencia incidentes, determinaremos la tangente en el punto de intersección.

Reduciremos el problema al de dos rectas.

El ángulo que forman una recta y una circunferencia que se cortan, es el que forma la recta con la tangente a la circunferencia en uno de los puntos de intersección.

La recta puede cortar en dos puntos a la circunferencia; si realizamos el cálculo del ángulo en cualquiera de los puntos de intersección, el valor es el mismo.

Ángulo entre dos circunferencias

[caption id="attachment_13932" align="alignleft" width="181" caption="Ángulo entre dos circunferencias"][/caption]

Para definir el ángulo que forman dos circunferencia incidentes, determinaremos las tangentes en uno de los puntos de intersección.

Reduciremos el problema al de dos rectas.

El ángulo que forman dos circunferencias que se cortan, es el que forman sus tangentes en cualquiera de sus puntos de intersección.

Las circunferencias pueden cortarse en dos puntos; si realizamos el cálculo del ángulo en cualquiera de los puntos de intersección, el valor es el mismo.

Geometría métrica

Geometría métrica : Problema fundamental de tangencias : PPc [II]

El denominado problema fundamental de tangencias puede presentarse con condiciones de tangencia respecto de una circunferencia, en lugar de recta.

Conceptualmente podemos suponer que el anterior es un caso particular de éste, si consideramos a la recta como una circunferencia de radio infinito.

En ambos casos aplicaremos por lo tanto un razonamiento similar para su resolución, basándonos en los conceptos aprendidos de potencia.

Resolveremos el segundo caso de estudio enunciando el problema como:

Determinar las circunferencias que pasan por los puntos A y B y son tangentes a la circunferencia c

[caption id="attachment_13901" align="aligncenter" width="379" caption="Enunciado del problema fundamental de tangencias"][/caption]

 

Análisis del problema fundamental de tangencias

En la figura de análisis se aprecia que la circunferencia s puede ser una de las soluciones del problema ya que pasa por los puntos A y B y es tangente a la circunferencia c. En esta figura ,en la que representamos la circunferencia solución que estamos buscando, podemos determinar propiedades que servirán para deducir una construcción que nos permita determinarla.

Se ha representado también otra circunferencia auxiliar (línea de trazos) que pasa por los puntos A y B y que corta a c en los puntos C y D.

[caption id="attachment_13903" align="aligncenter" width="366" caption="Análisis del problema fundamental de tangencias"][/caption]

Las rectas A-B y C-D se cortan en un punto P que es el centro radical de las tres circunferencias y por lo tanto tiene igual potencia respecto de ellas, esto se puede expresar como:

[caption id="attachment_13905" align="aligncenter" width="175" caption="Potencia del centro radical"][/caption]

De la expresión anterior deducimos que si obtenemos el valor del segmento PT (raiz de la potencia) podemos obtener el punto T de tangencia entre c y s y el problema se reduce a determinar la circunferencia que pasa por tres puntos: A, B y T (su centro estará en la intersección de dos mediatrices).

Resolución del problema.

Determinaremos el valor de la potencia por medio de una de las construciones usadas para resolver medias proporcionales:

• Teorema de la altura


• Teorema del cateto


• Potencia

Como la potencia del punto P respecto de cualquier circunferencia que pase por los puntos A y B es la misma, podemos utilizar una circunferencia auxiliar de cualquier radio que pase por estos puntos, como la representada en la figura de centro O1, situado en la mediatriz de A y B.

El valor de la potencia lo determinaremos obteniendo el segmento de tangencia desde P a esta circunferencia auxiliar; para ello, construiremos un arco capaz de 90 grados sobre el segmento PO1

[caption id="attachment_13906" align="aligncenter" width="339" caption="Resolución del problema fundamental de tangencias"][/caption]

El valor del segmento de tangencia ( P-T1) lo llevaremos sobre la circunferencia c para determinar el punto Ta de tangencia mediante un simple giro de centro en P.

[caption id="attachment_13909" align="aligncenter" width="344" caption="Solución del problema fundamental de tangencias"][/caption]

Número de soluciones

Dependiendo de la dirección (lado de la circunferencia c) en que situemos el segmento PT obtendremos una u otra de las dos posibles soluciones al problema.

[caption id="attachment_13908" align="aligncenter" width="393" caption="Número de soluciones del problema fundamental de tangencias"][/caption]

Geometría métrica

 

Geometría métrica : Problema fundamental de tangencias : PPr

Clásicamente los problemas de tangencias se han estudiado buscando construcciones geométricas propias de cada caso de estudio.

Los conceptos de potencia de un punto respecto de una circunferencia permiten abordar los problemas con un enfoque unificador, de forma que cualquier enunciado de tangencias o incidencias en general se puede reducir a uno más genérico que denominaremos problema fundamental de tangencias (PFT).

El PFT puede enunciarse como el problema de determinación de una circunferencia que pasa por dos puntos y es tangente a una recta o bien a otra circunferencia.

Un mayor grado de abstracción permitiría sustituir los puntos de paso por una condición de pertenencia a un haz, aunque este enfoque lo dejaremos pendiente para más adelante.

Resolveremos el primer caso de estudio enunciando el problema como:

Determinar las circunferencias que pasan por los puntos A y B y son tangentes a la recta r

[caption id="attachment_13882" align="aligncenter" width="431" caption="Datos para definir el Problema fundamental de tangencias"][/caption]

Análisis del problema fundamental de tangencias

En la figura de análisis se aprecia que la circunferencia c de centro C puede ser una de las soluciones del problema ya que pasa por los puntos A y B y es tangente a la recta r. En esta figura ,en la que representamos la circunferencia solución que estamos buscando, podemos determinar propiedades que servirán para deducir una construcción que nos permita determinarla.

[caption id="attachment_13884" align="aligncenter" width="490" caption="Fundamentos del problema fundamental de tangencias PFT"][/caption]

La recta que pasa por los puntos A y B corta a la recta r en un punto P. La potencia de este punto respecto de la circunferencia es:

[caption id="attachment_13885" align="aligncenter" width="117" caption="Potencia de un punto"][/caption]

De la expresión anterior deducimos que si obtenemos el valor del segmento PT (raiz de la potencia) podemos obtener el punto T de tangencia y el problema se reduce a determinar la circunferencia que pasa por tres puntos: A, B y T (su centro estará en la intersección de dos mediatrices).

Resolución del problema.

Determinaremos el valor de la potencia por medio de una de las construciones usadas para resolver medias proporcionales:

• Teorema de la altura


• Teorema del cateto


• Potencia

Como la potencia del punto P respecto de cualquier circunferencia que pase por los puntos A y B es la misma, podemos utilizar una circunferencia auxiliar de cualquier radio que pase por estos puntos, como la representada en la figura de centro O1, situado en la mediatriz de A y B.

El valor de la potencia lo determinaremos obteniendo el segmento de tangencia desde P a esta circunferencia auxiliar; para ello, construiremos un arco capaz de 90 grados sobre el segmento PO1

[caption id="attachment_13887" align="aligncenter" width="313" caption="Resolucion problema fundamental de tangencias"][/caption]

El valor del segmento de tangencia ( P-T1) lo llevaremos sobre la recta r para determinar el punto T de tangencia mediante un simple giro de centro en P.

[caption id="attachment_13891" align="aligncenter" width="352" caption="Solución del PFT"][/caption]

Número de soluciones

Dependiendo de la dirección en que llevemos el segmento PT obtendremos una u otra de las dos posibles soluciones al problema.

[caption id="attachment_13889" align="aligncenter" width="209" caption="Dos soluciones"][/caption]

Geometría métrica

Geometría métrica : Teoremas de la altura y del cateto

Junto con los conceptos de potencia, la geometría del triángulo rectángulo permite resolver la obtención de medias proporcionales mediante los teoremas denominados de la altura y del cateto.

Antes de enunciar y deducir estos teoremas, recordemos algunos conceptos básicos de proporcionalidad para entender qué es lo que podemos resolver con las construcciones derivadas de estos modelos geométricos.

Cuarto proporcional

Dada la relación matemática x/a =b/c llamamos cuarto proporcional al valor de x, es decir

x=a*b/c

Tercero proporcional

Dada la relación matemática x/a = a/b llamamos tercero proporcional al valor de x, es decir

x=a*a/b

Media proporcional

Dada la relación matemática x/a=b/x llamamos media proporcional al valor de x, es decir

x= raíz cuadrada de a*b

$latex x=sqrt[a*b]$

En los tres casos definidos, la relación puede provenir de modelos basados en la semejanza y por lo tanto de relaciones obtenidas aplicando el teorema de Thales.

Geometría del triángulo rectángulo

Podemos obtener un triángulo rectángulo utilizando como hipotenusa un diámetro de una circunferencia, y como vértice opuesto un punto de la misma, ya que determina un arco capaz de 90 grados sobre dicho diámetro.

Si obtenemos la altura h del triángulo desde el ángulo recto (vértice A) y determinamos su intersección H con la hipotenusa (pie de la altura) podemos determinar tres triángulos rectángulo semejantes:

• ABC


• HAC


• HBA

[caption id="attachment_13861" align="aligncenter" width="363" caption="Teoremas de la altura y del cateto"][/caption]

Aplicando Thales a estos tres triángulos podemos obtener las siguientes relaciones:

Teorema del cateto

El cateto de un triángulo rectángulo es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.

l*l=m*n

[caption id="attachment_13865" align="aligncenter" width="244" caption="Teorema del cateto"][/caption]

Teorema de la altura

La altura de un triángulo rectángulo medida sobre su hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos en que la divide.

l*l=m*n

[caption id="attachment_13867" align="aligncenter" width="257" caption="Teorema de la altura"][/caption]

Geometría métrica

Geometría métrica : Generalización del concepto de "Potencia"

El concepto de potencia de un punto respecto de una circunferencia se basa en el producto de la mayor por la menor de las distancias de un punto a una circunferencia.

Estos valores de la distancia se dan en la cuerda que contiene al centro de la circunferencia y al punto, es decir, en el diámetro que contiene a dicho punto.

¿Es posible generalizar este concepto para considerar otras cuerdas que pasen por el punto P?

La potencia W de un punto P respecto de una circunferencia c es el producto de la mayor por la menor distancia del punto P a la circunferencia c.

[caption id="" align="aligncenter" width="321" caption="Potencia de un punto respecto de una circunferencia"][/caption]

Si consideramos dos rectas que pasan por un punto P y seccionan a una circunferencia c, los puntos de corte con dicha circunferencia (A, B, C y D) determinan dos triángulos semejantes:

• PAD


• PCB

[caption id="attachment_13826" align="aligncenter" width="463" caption="Generalizacion del concepto de potencia"][/caption]

En efecto, al aplicar los conceptos de arco capaz sobre un segmento, vemos que los ángulos en B y D deben ser iguales por ser inscritos en la circunferencia que pasa por los cuatro punto. Por otro lado los triángulos comparten el vértice P y por lo tanto su ángulo, y en consecuencia son semejantes.

Aplicando el teorema de Thales a los dos triángulos semejantes tendremos que:

PA/PD = PC/PB

y por lo tanto

PA * PB = PC * PD = Constante

Lo que demuestra que la potencia desde el punto P es independiente de la recta elegida, como queríamos demostrar.

Geometría métrica