Elipses y Parábolas a nuestro alrededor [Alumnos]

Un tipo de trabajo recurrente en los blogs que han desarrollado mis alumnos ha consistido en la búsqueda e identificación de la geometría en todos los aspectos de su realidad cotidiana, dándose cuenta de la importancia de la misma.

Las curvas cónicas que se estudian en el apartado de geometría métrica tienen un alto interés en los estudios de ingeniería aeronáutica, ya que permiten describir las trayectorias de los cuerpos sometidos a las leyes gravitatorias. Sin embargo, como claramente destacan en sus trabajos, no son los únicos campos de aplicación. El breve artículo que sigue, realizado por el grupo de alumnos autodenominado "El laberinto del Ángulo"  es una muestra de estas inquietudes de relación con lo cotidiano.

por AG El Laberinto del Ángulo

Seguro que ya sabes que las elipses y parábolas son curvas son muy importantes en Física ya que se ajustan perfectamente a la representación matemática de muchos fenómenos.

Pero también vemos elipses y parábolas en nuestra vida cotidiana sin que nos demos cuenta de ello. A continuación te mostramos algunos ejemplos.

• Parábola: cualquier cuerpo lanzado al aire horizontal u oblicuamente realiza una parábola bajo la acción de la gravedad.

Un ejemplo es una pelota que bota desplazándose en la cual la parábola va haciendo más pequeña debido a la pérdida de energía desperdiciada en cada bote.

Otro ejemplo de bonitos arcos parabólicos son los creados por las fuentes de las ciudades sean las fuentes ‘‘Cibeles’’, ‘‘Neptuno’’o las del Paseo del Prado de Madrid. 

También podemos encontrar formas parabólicas cuando un haz luminoso se proyecta cónicamente sobre una pared blanca de forma que la pared sea paralela a la generatriz del cono.

O también en una antena parabólica (o para el seguimiento de satélites) la cual aprovecha una de las propiedades más importantes de la parábola que es cualquier rayo que incida de forma paralela al eje de la parábola rebota en su superficie pasando por el foco concentrando los rayos en este punto. También es el caso del faro del coche, cocina solar...

• Elipse: es la curva que describen los planetas en su giro alrededor del sol pero también podemos encontrarlas a nuestro alrededor aunque es difícil pero solo aparentemente.

Algunos ejemplos son las plazas con ''forma elíptica'' que podemos encontrar en ciudades como Madrid o Bilbao pero sin duda la más famosa e impresionante es la Plaza de San Pedro en el Vaticano.

O también la iglesia del Monasterio de San Bernardo en Alcalá de henares (Madrid) ,más conocido como ''Las Bernardas''. Un templo de una única nave y planta elíptica con cúpula del mismo trazado.

Bibliografía: www.elrincóndelaciencia.com

Los Grados de Libertad y las Restricciones [Alumnos]

Uno de los primeros conceptos que abordamos en las clases de geometría es el de restricciones y grados de libertad de una figura geométrica. Nos permite cuantificar la complejidad de la misma y el posible camino para su determinación geométrica en los problemas.

Mis alumnos han interiorizado este concepto y en sus blogs es un tema recurrente.

El número de grados de libertad en ingeniería se refiere al número mínimo de parámetros que necesitamos especificar para determinar completamente la velocidad de un mecanismo o el número de reacciones de una estructura.(W)

Os dejo este análisis del grupo HAFF que con sus propias palabras nos acercan a estos conceptos de alto interés formativo

por HAFF

Los Grados de Libertad son una de las herramientas más útiles del dibujo técnico, pues permiten a la persona que trabaja discernir entre los tipos de problemas más básicos que hay: Los que tienen solución y los que no.

Todo esto es gracias a que los grados de libertad nos dan la información que necesitamos para poder resolver un problema geométrico.

Otra cosa importante a destacar es la diferencia entre los grados de libertad y las restricciones geométricas. Los grados de libertad nos dan información acerca de la LIBERTAD con la que podemos construir una figura en función del número de estos; en cambio, las restricciones lo que nos indican son las características de nuestra figura a construir que no son libres. Por ejemplo, un paralelismo o la medida de una arista o un ángulo. Ambos están relacionados mediante una fórmula muy simple:

P=N-R

donde P (Número de parámetros necesarios para construir la figura), N (Número de grados de libertad que tiene la figura general) y R (Número de restricciones que se aplican a la construcción).

La forma de hallar el número de grados de libertad sigue una forma muy sencilla. El número total es el número de vértices por los grados de libertad de un vértice. En este caso, en el plano, cada vértice tiene 2 grados de libertad (ordenada y coordenada), en el espacio 3 (altura, profundidad) y sucesivamente por cada dimensión añadida del espacio, un grado de libertad más.

Tipos de Restricciones

Forma: Este tipo de restricciones es el que nos indica la forma de nuestra construcción geométrica (valga la redundancia), es decir, el “aspecto” que va a presentar. Estas restricciones son principalmente paralelismos, perpendicularidad, tangencia u ortogonalidad.

Tamaño: Estas nos indican lo grande o pequeña que es la figura en su representación. Son restricciones de tipo métrico pues implican medidas (de longitud y ángulo).

Posición: La posición de un objeto en el espacio en el que lo representemos nos quitará cierta libertad del mismo. Estas restricciones suelen ser posiciones de puntos pertenecientes a las figuras.

Orientación: Indican posiciones relativas de objetos respecto a ciertas referencias. Generalmente son ángulos respecto a los distintos ejes de los sistemas (en cartesianos principalmente, aunque también se usan en sistemas cilíndricos o esféricos).

Finalmente, un ejemplo que ayude a ilustrar la explicación.

Un cuadrado genérico en el plano (se da por conocida la figura, espero…) consta de 4 vértices, pertenece a la familia de los cuadrivértices por lo que tendría un total de 8 grados de libertad. Ahora bien, la palabra “cuadrado”, en sí, es la que nos da las distintas restricciones.

• Forma: 4 restricciones (ó 0 grados de libertad). Estas son: un lado perpendicular a otros dos y paralelo a un tercero y además que dos lados cualesquiera son iguales.


• Tamaño: 0 restricciones (1 grado de libertad), la longitud de la arista es libre (salvo que esté definida en el problema).


• Posición: 0 restricciones (2 grados de libertad), la posición de un punto queda a libre elección de la persona que lo dibuja.


• Orientación: 0 restricciones (1 grado de libertad), el ángulo de un lado respecto a un eje marca la orientación de la figura y nos da una libertad.

Resumiendo, el cuadrivértice poseía de manera genérica 8 grados de libertad. Al definirlo como cuadrado nos da un total de 4 restricciones (las de forma) dejando libres 4 grados de libertad. En otro caso no genérico, estos grados de libertad estarían definidos de alguna forma incrementando el número de restricciones del mismo.

Este trabajo ha sido realizado por los alumnos de la EUIT Aeronáutica de la Universidad Politécnica de Madrid dentro del marco de los proyectos de innovación educativa Blogs educativos experimentales e INNOVABLOG

Imagen de cabecera perteneciente a:

POSICIONADOR PLANO DE DOS GRADOS DE LIBERTAD CON ACTUADORES ESTATICOS Y CONFINADOS

Geometría métrica y proyectiva : Teorema de Thales

Uno de los teoremas más importantes de la geometría métrica es el enunciado por Thales de Mileto. Junto con el teorema de Pitágoras establecen las bases fundamentales de la axiomática de las geometrías métrica y proyectiva.

[caption id="attachment_11546" align="alignleft" width="163"] Tales de Mileto[/caption]

Tales de Mileto (en griego Θαλῆς ὁ Μιλήσιος) (ca. 630 - 545 a. C ) fue el iniciador de la indagación racional sobre el universo. Se le considera el primer filósofo de la historia de la filosofía occidental, y fue el fundador de la escuela jónica de filosofía, según el testimonio de Aristóteles. Fue el primero y más famoso de los Siete Sabios de Grecia (el sabio astrónomo), y habría tenido, según una tradición antigua no muy segura, como discípulo y protegido a Pitágoras.

Fue además uno de los más grandes matemáticos de su época, centrándose sus principales aportaciones en los fundamentos de la geometría.(W)

Enunciado del primer Teorema de Thales

El teorema de Thales establece la noción de semejanza entre dos triángulos relacionando la longitud de dos de sus lados. Permite definir un invariante proyectivo de aplicación a los sistemas de proyección cilíndricos: La razón simple.

Si cortamos dos rectas cualesquiera por varias rectas paralelas,los segmentos correspondientes en ambas son proporcionales,es decir, se corresponden en la igualdad ,en la suma y en la resta.

[caption id="attachment_11561" align="aligncenter" width="378"] Teorema de Thales[/caption]

Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.(W)

El teorema establece las siguientes igualdades entre los cocientes de dos lados homólogos en dos triángulos semejantes:

• m/n = m’/n’


• m/n = (m+m’)/(n+n’)


• n/p = (n+n’)/p’

Aplicaciones: Escalas

El concepto de semejanza se asocia con el de escala. Dos formas semejantes (igual forma pero diferente tamaño) sólo varían en la escala de su representación.

La escala es la relación matemática que existe entre las dimensiones reales y las del dibujo que representa la realidad sobre un plano o un mapa.(W)

Escala = Medida lineal en el Dibujo/Medida lineal del objeto real

E= D / R

Por ejemplo, la escala  E = 3/4 indica que de 4 unidades de medida del objeto real, tomamos 3 en el dibujo.

Elementos que forman una escala gráfica.

Una escala se construye sobre un soporte rectilíneo. Cada parte numerada se denomina módulo. La parte que se encuentra a la izquierda del cero se llama contraescala.

[caption id="attachment_11562" align="aligncenter" width="567"] Elementos de una escala[/caption]

Construcción de Escalas

Como ejemplo de aplicación supongamos que queremos construir la escala 7/9.

Usaremos un soporte rectilíneo de longitud 7 unidades que representará las medidas del dibujo y una recta auxiliar de longitud nueve unidades unida por un extremo a la anterior que representará la medida de la realidad.

Uniremos los dos extremos libres de ambas rectas e iremos trazando paralelas a esta última recta por cada una de las unidades de la recta auxiliar.

[caption id="attachment_11563" align="aligncenter" width="546"] Ejemplo de construcción de la escala 7/9[/caption]

Ejercícios

Los siguientes ejercicios permiten profundizar y asentar los conceptos tratados que serán fundamentales para, posteriormente, entender los invariantes proyectivos que usaremos en los sistemas de representación.

 

1-.División de un segmento s = AB en partes proporcionales a otros a, b, c .

 



 

2-.Si a/b= c/x, hallar el segmento x ,cuarta proporcional de tres segmentos a, b, c dados.

 



 

3-.Si a/b = b/x. Hallar el segmento x ,tercera  proporcional de dos segmentos a, b dados.

 



 

4-.Hallar dos segmentos x é y, conocidas su suma s y su diferencia d.

 



 



 

5-.En la figura adjunta se cumple:

Indicar si la relación es verdadera (V) o falsa (F) en cada caso

 

• V  F  AD . AE = AB . BC


• V  F  AD / BC = AB / DE


• V  F  AB . DE = AD . BC

 



 

6-.En la figura adjunta se cumple:

Indicar si la relación es verdadera (V) o falsa (F) en cada caso

• V  F  MN / NR = QP . QR


• V  F  MN . QR = MR . QP


• V  F  PR / RN = QR / RM

 



 

7.- Dado un segmento m, determinar dos segmentos p y q sabiendo que:

• m = q + p


• p/q =2/3

 



 

8.- Dado un segmento m, determinar dos segmentos p y q sabiendo que:

• m = q - p


• p/q =2/3

[caption id="attachment_13573" align="aligncenter" width="400"] Sistemas_de_representacion[/caption]

Geometría métrica

Geometría Proyectiva

Espirales [Alumnos]

La geometría se presenta en los elementos que constituyen la naturaleza. Las formas cotidianas se pueden describir con modelos gráficos geométricos simples. Convivimos por tanto con la geometría de forma cotidiana sin prestarle demasiada atención.
Mis alumnos han reflexionado sobre ello y nos han presentado algunos ejemplos en sus trabajos, como éste breve artículo que busca espirales en nuestro entorno

por KON-PAS

¿En qué se parecen un tornillo, una galaxia y un caracol?

Todos ellos tienen forma de espiral, una figura geométrica por la que la naturaleza y el hombre parecen sentir especial predilección. La forma el agua al colarse por el desagüe, las pipas de girasol cuando están en la planta, las telas de las arañas, las borrascas, las caracolas marinas, los cuernos de las cabras, los colmillos del elefante…

El hombre también se aprovecha de sus virtudes y puedes observar que empleamos espirales todos los días, ya que están en los sacacorchos, los ventiladores, los discos musicales, los rollos de papel, el cable del teléfono o las cintas magnetofónicas. Seguro que si te fijas encuentras más espirales a tu alrededor.

publicado en http://igweb.euita.upm.es/

Categorías de las formas geométricas y operaciones proyectivas

Categoría de las formas geométricas

Las formas geométricas se clasifican en categorías.

Desde un punto de vista paramétrico, la categoría de una forma geométrica indica el número de variables o datos necesarios para referenciar a un elemento de la misma.

Por ejemplo, en la forma geométrica “Plano punteado” (forma geométrica que contiene a los infinitos puntos que pertenecen a un mismo plano o base) son necesarias dos coordenadas para identificar a cada uno de sus puntos; diremos que el plano punteado es una forma de segunda categoría.

La serie rectilínea, el haz de rectas y el haz de planos son formas de primera categoría.

Las formas de segunda categoría son el plano punteado (o de puntos), el plano radiado (de rectas) así como la radiación de rectas (rectas que pasan por un punto dado del espacio R3) y la radiación de planos (planos que pasan por un punto).

Las formas de tercera categoría son el espacio de puntos (puntos de R3) o el de planos.

Operaciones proyectivas

Dos son las operaciones proyectivas. Son los operadores de nuestro modelo geométrico proyectivo.

• Proyección


• Sección

Proyectar desde un punto R una serie rectilínea de base b es generar un haz de rectas de vértice dicho punto. La forma geométrica que contiene a estos elementos tiene por base un plano.

Seccionar por una recta r un haz de rectas de vértice V es generar una serie de puntos de base dicha recta. La forma geométrica que contiene a estos elementos tiene por base un plano.

Las formas geométricas que resultan de seccionar por una recta o proyectar desde un punto otra forma geométrica se denominan “Formas perspectivas”.

Este concepto se generaliza igualmente para el elemento “plano”.

[caption id="attachment_11147" align="aligncenter" width="334" caption="Perspectividad entre formas de primera categoría."][/caption]

La perspectividad es deseable porque establece una relación sencilla entre los elementos geométricos (puntos y rectas o planos) de las correspondientes formas.

En la Figura la serie de base r, es perspectiva del haz de rectas de vértice R. A cada punto de la recta r le corresponde una recta del haz y viceversa.

[caption id="attachment_13573" align="aligncenter" width="400" caption="Sistemas_de_representacion"][/caption]

Geometría Proyectiva

Fundamentos proyectivos: Elementos y Formas geométricas

Fundamentos proyectivos

Un sistema lógico axiomático parte de la definición de un reducido número de elementos básicos que se relacionan mediante un conjunto de reglas. La aplicación de estas reglas permite inferir propiedades o teoremas que a su vez son útiles para generar nuevas propiedades.

Se genera de esta forma un conjunto amplio de relaciones a partir de unas definiciones básicas (elementos) y un limitado número de reglas (axiomas).

Las reglas de inferencia son las operaciones proyectivas que relacionan a los elementos.

Los elementos básicos de la geometría clásica son los puntos, las rectas y los planos. Es posible definir nuevas geometrías con otros elementos básicos y diferentes operaciones y axiomas.

Estos elementos son los números de la geometría, y pueden ser usados, junto con las transformaciones gráficas como operadores, para idealizar y describir los modelos de la realidad.

Los elementos pueden pertenecer a un espacio unidimensional, bidimensional, tridimensional ...

Las figuras geométricas se forman a partir de los elementos básicos, por lo que interesa el estudio de sus posibles relaciones. En particular el enfoque basado en los invariantes conduce a un modelo de pensamiento que agrupa los conceptos en función de su independencia en la aplicación a la resolución de los problemas.

La razón simple y la razón doble, como se verá más adelante, permiten establecer nuevos modelos de solución en problemas que se han tratado normalmente desde una perspectiva pitagórica, en la que las medidas absolutas de las distancias, y no tanto sus relaciones con otras, constituyen el elemento argumental.

Al operar con estos elementos, los restantes deben considerarse agrupaciones de los primeros. Por ejemplo, si el elemento base es el punto, la recta y el plano deben reducirse a conjuntos de puntos; la recta debe entenderse como un conjunto de infinitos puntos que se pueden determinar con un simple parámetro o coordenada respecto de un punto origen,; el plano como un conjunto de infinitos puntos determinados mediante dos parámetros de un sistema de coordenadas.

[caption id="" align="aligncenter" width="320" caption="El lenguaje geométrico"][/caption]

Esta forma de relacionar los elementos permite generalizar los teoremas obtenidos para un elemento dado, al resto de elementos.

La ley de dualidad recoge esta idea aportando un mecanismo semántico para este fin. Un simple cambio de palabras en un teorema sobre rectas, puede convertirse en otro para planos o para puntos simplificando mediante abstracción lógica la estructura geométrica.

Elementos y Formas geométricas

Los elementos geométricos se pueden estructurar en grupos que los contienen y que se denominan formas geométricas.

Por ejemplo, los elementos (puntos) del espacio tridimensional R³ que distan una longitud constante de otro dado determinan la forma geométrica denominada esfera. Los que equidistan de una recta determinarían un cilindro o superficie cilíndrica de revolución, y los que se encuentran a igual distancia de un plano formaran dos nuevos planos paralelos al anterior, etc.

Se puede utilizar una semántica que generaliza los conceptos independientemente de la naturaleza de los elementos básicos constitutivos. Obsérvese la “forma dual” en que se presentan los siguientes enunciados.

Una línea puede ser entendida como un elemento geométrico básico o como un conjunto de infinitos puntos.En este segundo caso diremos que la recta es la base de la forma geométrica denominada “Serie rectilínea”.

Un punto puede ser entendido como un elemento geométrico básico o como la intersección de infinitas rectas.En este segundo caso diremos que el punto es el vértice (base) de la forma geométrica denominada “Haz de rectas”.

 

La “Serie rectilínea”, “Haz de rectas” y el “Haz de planos” son las formas geométricas más básicas. Sus elementos son puntos, rectas y planos respectivamente.

Serie rectilínea La forman los infinitos puntos de una recta.
Haz de rectas Lo forman las infinitos rectas de igual vértice.
Haz de planos Los forman los infinitos planos que comparten una recta

Tabla 1 Formas de primera categoría

[caption id="attachment_13573" align="aligncenter" width="400" caption="Sistemas_de_representacion"][/caption]

Geometría Proyectiva

Geometría sagrada [Alumnos]

La religión ha formado una parte esencial de las diferentes culturas.

Un tema de esta importancia no ha pasado inadvertido por mis alumnos que han dedicado una entrada en sus blogs.

por AG_Punto Recta Plano

“Geometria Sagrada”

Se denomina Geometría sagrada, en un sentido restrictivo, a aquella que involucra diseños que se vinculan con el culto religioso. En todas las culturas y a lo largo de todas las épocas, los templos, los edificios funerarios, los espacios sagrados, las pinturas y obras escultóricas destinadas al culto dan muestra de los numerosos exponentes de la misma.

SIGNIFICADO, SÍMBOLO Y USO DE LA VESICA PISICIS EN LA CULTURA CRISTIANA

Literalmente significa vejiga (vesica), que al llenarse de aire adquiere la forma de pez (piscis). Era el diagrama central de la Geometría Sagrada en el misticismo cristiano de la Edad Media. Representa simbólicamente a Cristo.

La vesica está vinculada morfológicamente a un pez, que era el símbolo que identificaba a los primeros cristianos en el Imperio Romano quienes lo utilizaban como código secreto para identificarse entre ellos.

Construcción de la Vesica Piscis

Su construcción consiste en trazar una circunferencia de radio cualquiera y de centro A. Eligiendo cualquier punto (B) de esta circunferencia se traza otra circunferencia con el mismo radio. La intersección de las dos circunferencias determina una zona denominada Vesica Piscis (VP).

Se trazan los ejes de la VP: el eje mayor CD y el eje menor AB. Se determina los segmentos CA , AD , CB y BD. Todos son de igual medida, ya que son radios de la circunferencia. Se tiene así dos triángulos equiláteros dentro de la VP: el triángulo ABC y el triángulo ABD.

Se prolonga CA y CB hasta su intersección con las circunferencias, obteniendo los puntos F y E. CE y CF son diámetros de las circunferencias. Puede probarse que FD = DE = radios de las circunferencias, por lo tanto los triángulos BDE y ADF son equiláteros.
En el triángulo CDE, rectángulo en D es:

CE 2 = CD2 + DE 2

CD2= CE 2 - DE 2

• Publicado en el blog educativo DibuBlog


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