martes, 25 de octubre de 2011

Elipses y Parábolas a nuestro alrededor [Alumnos]

ANTENA-PARABOLICAUn tipo de trabajo recurrente en los blogs que han desarrollado mis alumnos ha consistido en la búsqueda e identificación de la geometría en todos los aspectos de su realidad cotidiana, dándose cuenta de la importancia de la misma.


Las curvas cónicas que se estudian en el apartado de geometría métrica tienen un alto interés en los estudios de ingeniería aeronáutica, ya que permiten describir las trayectorias de los cuerpos sometidos a las leyes gravitatorias. Sin embargo, como claramente destacan en sus trabajos, no son los únicos campos de aplicación. El breve artículo que sigue, realizado por el grupo de alumnos autodenominado "El laberinto del Ángulo"  es una muestra de estas inquietudes de relación con lo cotidiano.



por AG El Laberinto del Ángulo


Seguro que ya sabes que las elipses y parábolas son curvas son muy importantes en Física ya que se ajustan perfectamente a la representación matemática de muchos fenómenos.


Pero también vemos elipses y parábolas en nuestra vida cotidiana sin que nos demos cuenta de ello. A continuación te mostramos algunos ejemplos.




  • Parábola: cualquier cuerpo lanzado al aire horizontal u oblicuamente realiza una parábola bajo la acción de la gravedad.


PARABOLAS

Un ejemplo es una pelota que bota desplazándose en la cual la parábola va haciendo más pequeña debido a la pérdida de energía desperdiciada en cada bote.


Otro ejemplo de bonitos arcos parabólicos son los creados por las fuentes de las ciudades sean las fuentes ‘‘Cibeles’’, ‘‘Neptuno’’o las del Paseo del Prado de Madrid. 


También podemos encontrar formas parabólicas cuando un haz luminoso se proyecta cónicamente sobre una pared blanca de forma que la pared sea paralela a la generatriz del cono.












O también en una antena parabólica (o para el seguimiento de satélites) la cual aprovecha una de las propiedades más importantes de la parábola que es cualquier rayo que incida de forma paralela al eje de la parábola rebota en su superficie pasando por el foco concentrando los rayos en este punto. También es el caso del faro del coche, cocina solar...












  • Elipse: es la curva que describen los planetas en su giro alrededor del sol pero también podemos encontrarlas a nuestro alrededor aunque es difícil pero solo aparentemente.



Algunos ejemplos son las plazas con ''forma elíptica'' que podemos encontrar en ciudades como Madrid o Bilbao pero sin duda la más famosa e impresionante es la Plaza de San Pedro en el Vaticano.


O también la iglesia del Monasterio de San Bernardo en Alcalá de henares (Madrid) ,más conocido como ''Las Bernardas''. Un templo de una única nave y planta elíptica con cúpula del mismo trazado.


Bibliografía: www.elrincóndelaciencia.com

viernes, 14 de octubre de 2011

Los Grados de Libertad y las Restricciones [Alumnos]

grados de libertadUno de los primeros conceptos que abordamos en las clases de geometría es el de restricciones y grados de libertad de una figura geométrica. Nos permite cuantificar la complejidad de la misma y el posible camino para su determinación geométrica en los problemas.


Mis alumnos han interiorizado este concepto y en sus blogs es un tema recurrente.




El número de grados de libertad en ingeniería se refiere al número mínimo de parámetros que necesitamos especificar para determinar completamente la velocidad de un mecanismo o el número de reacciones de una estructura.(W)



Os dejo este análisis del grupo HAFF que con sus propias palabras nos acercan a estos conceptos de alto interés formativo



por HAFF


Los Grados de Libertad son una de las herramientas más útiles del dibujo técnico, pues permiten a la persona que trabaja discernir entre los tipos de problemas más básicos que hay: Los que tienen solución y los que no.

Todo esto es gracias a que los grados de libertad nos dan la información que necesitamos para poder resolver un problema geométrico.

Otra cosa importante a destacar es la diferencia entre los grados de libertad y las restricciones geométricas. Los grados de libertad nos dan información acerca de la LIBERTAD con la que podemos construir una figura en función del número de estos; en cambio, las restricciones lo que nos indican son las características de nuestra figura a construir que no son libres. Por ejemplo, un paralelismo o la medida de una arista o un ángulo. Ambos están relacionados mediante una fórmula muy simple:


P=N-R


donde P (Número de parámetros necesarios para construir la figura), N (Número de grados de libertad que tiene la figura general) y (Número de restricciones que se aplican a la construcción).


La forma de hallar el número de grados de libertad sigue una forma muy sencilla. El número total es el número de vértices por los grados de libertad de un vértice. En este caso, en el plano, cada vértice tiene 2 grados de libertad (ordenada y coordenada), en el espacio 3 (altura, profundidad) y sucesivamente por cada dimensión añadida del espacio, un grado de libertad más.





















Tipos de Restricciones


  • Forma: Este tipo de restricciones es el que nos indica la forma de nuestra construcción geométrica (valga la redundancia), es decir, el “aspecto” que va a presentar. Estas restricciones son principalmente paralelismos, perpendicularidad, tangencia u ortogonalidad.




  • Tamaño: Estas nos indican lo grande o pequeña que es la figura en su representación. Son restricciones de tipo métrico pues implican medidas (de longitud y ángulo).


TAMAÑO




  • Posición: La posición de un objeto en el espacio en el que lo representemos nos quitará cierta libertad del mismo. Estas restricciones suelen ser posiciones de puntos pertenecientes a las figuras.


POSICION




  • Orientación: Indican posiciones relativas de objetos respecto a ciertas referencias. Generalmente son ángulos respecto a los distintos ejes de los sistemas (en cartesianos principalmente, aunque también se usan en sistemas cilíndricos o esféricos).


ORIENTACION



Finalmente, un ejemplo que ayude a ilustrar la explicación.

Un cuadrado genérico en el plano (se da por conocida la figura, espero…) consta de 4 vértices, pertenece a la familia de los cuadrivértices por lo que tendría un total de 8 grados de libertad. Ahora bien, la palabra “cuadrado”, en sí, es la que nos da las distintas restricciones.




  • Forma: 4 restricciones (ó 0 grados de libertad). Estas son: un lado perpendicular a otros dos y paralelo a un tercero y además que dos lados cualesquiera son iguales.

  • Tamaño: 0 restricciones (1 grado de libertad), la longitud de la arista es libre (salvo que esté definida en el problema).

  • Posición: 0 restricciones (2 grados de libertad), la posición de un punto queda a libre elección de la persona que lo dibuja.

  • Orientación: 0 restricciones (1 grado de libertad), el ángulo de un lado respecto a un eje marca la orientación de la figura y nos da una libertad.


Resumiendo, el cuadrivértice poseía de manera genérica 8 grados de libertad. Al definirlo como cuadrado nos da un total de 4 restricciones (las de forma) dejando libres 4 grados de libertad. En otro caso no genérico, estos grados de libertad estarían definidos de alguna forma incrementando el número de restricciones del mismo.


Este trabajo ha sido realizado por los alumnos de la EUIT Aeronáutica de la Universidad Politécnica de Madrid dentro del marco de los proyectos de innovación educativa Blogs educativos experimentales e INNOVABLOG


Imagen de cabecera perteneciente a:

POSICIONADOR PLANO DE DOS GRADOS DE LIBERTAD CON ACTUADORES ESTATICOS Y CONFINADOS

martes, 11 de octubre de 2011

Geometría métrica y proyectiva : Teorema de Thales

Uno de los teoremas más importantes de la geometría métrica es el enunciado por Thales de Mileto. Junto con el teorema de Pitágoras establecen las bases fundamentales de la axiomática de las geometrías métrica y proyectiva.




[caption id="attachment_11546" align="alignleft" width="163"] Tales de Mileto[/caption]

Tales de Mileto (en griego Θαλῆς ὁ Μιλήσιος) (ca. 630 - 545 a. C ) fue el iniciador de la indagación racional sobre el universo. Se le considera el primer filósofo de la historia de la filosofía occidental, y fue el fundador de la escuela jónica de filosofía, según el testimonio de Aristóteles. Fue el primero y más famoso de los Siete Sabios de Grecia (el sabio astrónomo), y habría tenido, según una tradición antigua no muy segura, como discípulo y protegido a Pitágoras.




Fue además uno de los más grandes matemáticos de su época, centrándose sus principales aportaciones en los fundamentos de la geometría.(W)



Enunciado del primer Teorema de Thales


El teorema de Thales establece la noción de semejanza entre dos triángulos relacionando la longitud de dos de sus lados. Permite definir un invariante proyectivo de aplicación a los sistemas de proyección cilíndricos: La razón simple.




Si cortamos dos rectas cualesquiera por varias rectas paralelas,los segmentos correspondientes en ambas son proporcionales,es decir, se corresponden en la igualdad ,en la suma y en la resta.



[caption id="attachment_11561" align="aligncenter" width="378"]Teorema_Thales Teorema de Thales[/caption]

Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.(W)



El teorema establece las siguientes igualdades entre los cocientes de dos lados homólogos en dos triángulos semejantes:




  • m/n = m’/n’

  • m/n = (m+m’)/(n+n’)

  • n/p = (n+n’)/p’


Aplicaciones: Escalas


El concepto de semejanza se asocia con el de escala. Dos formas semejantes (igual forma pero diferente tamaño) sólo varían en la escala de su representación.
La escala es la relación matemática que existe entre las dimensiones reales y las del dibujo que representa la realidad sobre un plano o un mapa.(W)

Escala = Medida lineal en el Dibujo/Medida lineal del objeto real


E= D / R


Por ejemplo, la escala  E = 3/4 indica que de 4 unidades de medida del objeto real, tomamos 3 en el dibujo.

Elementos que forman una escala gráfica.


Una escala se construye sobre un soporte rectilíneo. Cada parte numerada se denomina módulo. La parte que se encuentra a la izquierda del cero se llama contraescala.




[caption id="attachment_11562" align="aligncenter" width="567"]escala Elementos de una escala[/caption]

Construcción de Escalas


Como ejemplo de aplicación supongamos que queremos construir la escala 7/9.


Usaremos un soporte rectilíneo de longitud 7 unidades que representará las medidas del dibujo y una recta auxiliar de longitud nueve unidades unida por un extremo a la anterior que representará la medida de la realidad.


Uniremos los dos extremos libres de ambas rectas e iremos trazando paralelas a esta última recta por cada una de las unidades de la recta auxiliar.




[caption id="attachment_11563" align="aligncenter" width="546"]Ejemplo_construccion_escala Ejemplo de construcción de la escala 7/9[/caption]

Ejercícios


Los siguientes ejercicios permiten profundizar y asentar los conceptos tratados que serán fundamentales para, posteriormente, entender los invariantes proyectivos que usaremos en los sistemas de representación.


 

1-.División de un segmento s = AB en partes proporcionales a otros a, b, c .

 

ej1

 

2-.Si a/b= c/x, hallar el segmento x ,cuarta proporcional de tres segmentos a, b, c dados.

 

ej2

 

3-.Si a/b = b/x. Hallar el segmento x ,tercera  proporcional de dos segmentos a, b dados.

 

ej3

 

4-.Hallar dos segmentos x é y, conocidas su suma s y su diferencia d.

 

ej4

 

ej5

 

5-.En la figura adjunta se cumple:

Indicar si la relación es verdadera (V) o falsa (F) en cada caso

 

  • V  F  AD . AE = AB . BC

  • V  F  AD / BC = AB / DE

  • V  F  AB . DE = AD . BC


 

ej6

 

6-.En la figura adjunta se cumple:

Indicar si la relación es verdadera (V) o falsa (F) en cada caso

  • V  F  MN / NR = QP . QR

  • V  F  MN . QR = MR . QP

  • V  F  PR / RN = QR / RM


 

ej7

 

7.- Dado un segmento m, determinar dos segmentos p y q sabiendo que:

  • m = q + p

  • p/q =2/3


 

ej8

 

8.- Dado un segmento m, determinar dos segmentos p y sabiendo que:

  • m = q - p

  • p/q =2/3


[caption id="attachment_13573" align="aligncenter" width="400"]Sistemas_de_representacion Sistemas_de_representacion[/caption]

Geometría métrica


Geometría Proyectiva