lunes, 24 de junio de 2013

Determinación de un segmento conocido su punto medio [Solución]

simetria centralAl plantear un problema de geometría métrica podemos abordar su resolución con diferentes estrategias. para ilustrar uno de estos métodos vamos a resolver el de determinar un segmento del que se conoce su punto medio junto con otras restricciones adicionales.


En particular analizaremos el caso en el que los extremos del segmento se encuentran situados sobre dos circunferencias coplanarias de radio arbitrario.


El enunciado del problema es, por lo tanto:
Determinar los segmentos que se apoyan sobre dos circunferencias y que tienen al punto M como punto medio.

Las circunferencias pueden tener cualquier radio y posición, dependiendo de la posición relativa del punto de paso M nos encontraremos con diferente número de soluciones al problema.
enunciado


El método empleado en este caso se basará en el análisis de los lugares geométricos que determinarán los puntos que cumplan parte de las restricciones, encontrandose entre ellos aquellos que las cumplan todas.


Supongamos que el punto P pertenece a una de las soluciones. Este punto lo hemos situado sobre la circunferencia de centro O2. Si el punto fuera una solución, su simétrico P' respecto del punto medio M debería encontrarse sobre la otra circunferencia, ya que M es el punto medio.


primera prueba

Si realizamos esta operación con otro punto, el Q por ejemplo, el extremo Q' de nuevo será el simétrico de Q respecto de M. Si fuera la solución, se encontraría sobre la otra circunferencia. Al repetir la operación con los infinitos puntos de la circunferencia de centro O2, sus simétricos se encontrarán determinando una circunferencia simétrica de la anterior con centro de simetría el punto M.


lugar geometrico

Podemos por lo tanto determinar el lugar geométrico de todos los simétricos, que se encontrará en la circunferencia de igual radio cuyo centro, O2', será simétrico de O2.


lugar geometrico 2

Los puntos I1 e I2 de esta circunferencia simétrica que sean de intersección con la otra circunferencia de centro O1 sobre la que deben estar situados los extremos del segmento determinarán las dos posibles soluciones del problema.


solucion

El problema tendrá un máximo de dos soluciones en este caso, pudiendo no tener ninguna si las circunferencias no se cortan.

 Geometría Métrica


 

domingo, 16 de junio de 2013

Determinación de un segmento conocido su punto medio [Enunciado]

simetria_centralUn interesante problema de geometría métrica que puede ilustrarnos la forma de buscar soluciones es el de determinar un segmento del que se conoce su punto medio junto con otras restricciones adicionales.


Ya que un segmento queda determinado por sus extremos (dos puntos), en el plano necesitaremos cuatro valores (datos simples) para fijar sus coordenadas cartesianas.


El conocimiento de su punto medio "M" supone imponer dos restricciones (las coordenadas del punto) que nos dejaran dos grados de libertad para determinar el conjunto de soluciones.  Impondremos por tanto dos nuevas restricciones para limitar las soluciones a un número finito de ellas, como por ejemplo asegurar que sus extremos se apoyen sobre dos circunferencias coplanarias.


El enunciado del problema podría ser por lo tanto:




Determinar los segmentos que se apoyan sobre dos circunferencias y que tienen al punto M como punto medio.



Enunciado_problema_simetria


Las condiciones de paso para los extremos del segmento no influyen en el modelo general de resolución, como se verá al plantear el análisis del problema.


En la figura se representan las dos circunferencias sobre las que debe apoyarse el segmento, y su punto medio M.




  • ¿En qué cambiaría el problema si una de las circunferencias fuera una recta?

  • ¿Y si fueran dos rectas?

  • ¿Cuántas soluciones tiene el problema?


Se deja el problema abierto al análisis del lector. Podrá consultar la solución, una vez publicada, en el siguiente enlace:

Solución Segmento conocido su punto medio


Geometría Métrica

miércoles, 29 de mayo de 2013

Haz de esferas [ Wallpaper ]

haz_thumbTrabajando los haces de circunferencias en el plano se me ocurrió la idea de realizar este fondo de escritorio que recrea el motivo geométrico en tres dimensiones.


Un haz parabólico de esferas, tangentes en un punto a un mismo plano con textura de cristal ha servido para realizar este interesante render. Se ha utilizado una textura de cuadros para definir el plano del suelo y establecer una referencia de horizonte en la imagen.


La imagen se ha confeccionado con Blender, renderizándose con Cycles


Puedes obtener la versión wallpaper en resolución (1920 x 1080) aquí

parabolico_low

Geometría métrica : Generalización del problema fundamental de tangencias :

Generalizacion_problema_fundamental_tangenciasHemos resuelto el que hemos denominado problema fundamental de tangencias cuando se presenta con condiciones de tangencia respecto de una circunferencia o de una recta. Conceptualmente podemos suponer que ambos problemas son el mismo, si consideramos a la recta como una circunferencia de radio infinito. El enunciado por lo tanto planteaba la obtención de circunferencias que pasando por dos puntos eran tangentes a una recta o tangentes a una circunferencia.


En ambos casos aplicaremos por lo tanto un razonamiento similar para su resolución, basándonos en los conceptos aprendidos de potencia.

Si consideramos que las circunferencias que pasan por dos puntos pertenecen a un haz de circunferencias elíptico, podemos generalizar el problema fundamental de tangencias (PFT) enunciándolo de la siguiente manera:


Determinar las circunferencias de un haz de circunferencias corradicales que son tangentes a un elemento geométrico (recta o circunferencia)

Hemos resuelto estos problemas por separado al estudiar cada tipo de haz:

En los tres casos se ha analizado el caso en el que la condición de tangencia es una recta o una circunferencia.

[caption id="" align="aligncenter" width="380"]Circunferencias de un haz hiperbólico tangentes a una recta Circunferencias de un haz hiperbólico tangentes a una recta[/caption]

La solución pasa por determinar un punto de igual potencia, Cr, respecto de la condición de tangencia y respecto del haz al que pertenece la solución. Si la condición es respecto de una recta, el punto buscado estará en la intersección de esta recta con el eje radical.


Circunferencias de una haz elíptico tangentes a una circunferencia

Si la condición de tangencia es respecto de una circunferencia deberemos localizar igualmente el punto de igual potencia respecto del haz y la circunferencia, para lo que deberemos obtener un eje radical auxiliar (e2) entre la condición de tangencia y cualquier circunferencia del haz.


La potencia de este punto, Cr, respecto de la condición de tangencia determinará los puntos de contacto entre esta circunferencia y las soluciones pertenecientes al haz.


Geometría métrica

martes, 28 de mayo de 2013

Geometría métrica : Haz hiperbólico de circunferencias

haz_hiperbolicoAl definir un haz de circunferencias como un conjunto simplemente infinito que cumplían una restricción basada en la potencia, clasificábamos los haces en función de la posición relativa de sus elementos.


Los haces de circunferencias hiperbólicos se encuentran entre estas familias de circunferencias. De los tres tipos existentes (elípticos, parabólicos e hiperbólicos) son los que ofrecen mayor dificultad en su conceptualización al no venir definidos por puntos de paso. Veremos cómo determinar elementos que les pertenecen tal y como realizamos en los casos anteriores.


Dadas dos circunferencias no secantes entre sí, el eje radical “e” de las circunferencias es el lugar geométrico de puntos del plano que tienen igual potencia respecto de ambas circunferencias. Esta recta es perpendicular a la que contiene los centros de las circunferencias, y contiene a los centros de las circunferencias ortogonales (perpendiculares) a las del haz.


Dadas dos circunferencias no secantes, podemos determinar una circunferencia ortogonal a ambas con centro el punto O de intersección entre su eje radical e y la recta base b que contiene a ambos centros. El punto O se conoce con el nombre de centro del haz.


circunferencia_ortogonal


Para ello determinaremos la tangente desde O (centro del haz) a cualquiera de las circunferencias. Esta circunferencia es ortogonal a ambas por tener el radio igual a la raiz de la potencia desde O, y corta en dos puntos L1 y L2 a la recta base, denominados puntos límites, que son a su vez circunferencias del haz.




Las infinitas circunferencias de un haz de circunferencias hiperbólico son ortogonales a la que tiene su centro en el del haz, O, y radio la potencia desde este punto a cualquiera de las circunferencias. Los puntos límites son circunferencias del haz de radio nulo.



El eje radical de cualquier pareja de circunferencias de este haz es la recta e.


Circunferencias_haz_hiperbolico

Todos los centros de las circunferencias del haz se encuentran en una recta, b, denominada recta base del haz.



Determinar una circunferencia del haz hiperbólico que pasa por un punto P


De las infinitas circunferencias de una haz elíptico, sólo una pasa por un punto dado. Veamos cómo determinar el centro de una circunferencia del haz que pase por un punto P cualquiera.


 circunferencia_punto

La circunferencia buscada tendrá su centro O1 en la recta base, b, y será ortogonal a cualquier circunferencia que pase por los puntos límites.

solucion_circunferencia_punto_haz_hiperbolico

La solución, su centro, se determina por lo tanto mediante la intersección de dos lugares geométricos, la recta base y el eje radical del punto de paso y una circunferencia ortogonal al haz (cualquiera de las que pasa por los puntos límites).



Determinar las circunferencias del haz hiperbólico que son tangentes a una recta dada


La condición de tangencia viene determinada por una recta t cualquiera que no coincida ni con la recta base b ni con el eje radical e. El haz puede quedar definido por sus puntos límites L1 y L2 o por dos de las circunferencias que le pertenecen.


tangencia


Para resolver el problema buscaremos un punto Cr, del eje radical e, que tenga igual potencia respecto de las circunferencias del haz, y que pertenezca, a su vez, a la recta t ya que ésta última es el eje radical de las circunferencias que le son tangentes. Vemos pues, que Cr es el centro radical de la recta t (circunferencia de radio infinito) y las circunferencias del haz parabólico.


solucion_tangencia


Como se aprecia en la figura, la potencia de Cr respecto de todas las circunferencias del haz la podemos determinar encontrando la tangente (al cuadrado) a cualquier circunferencia del haz (en este caso lla distancia a los puntos límites). Esta distancia es la que habrá también a los puntos de tangencia de las soluciones buscadas. Tenemos dos soluciones ya que podemos llevar esta distancia Cr-L1 a ambos lados de Cr sobre la recta t.



Determinar las circunferencias del haz hiperbólio que son tangentes a una circunferencia dada


La generalización del problema la tenemos cuando la condición de tangencia es respecto de una circunferencia t cualquiera.


circunferencia_tangente

En este caso, de nuevo, determinaremos un punto Cr que tenga igual potencia respecto de la circunferencia que marca la condición de tangencia y cualquiera de las del haz hiperbólico (por ejemplo los puntos límites), por lo que debe encontrarse en su eje radical.


Centro_radical_circ_tangentes


Las soluciones pasarán por los puntos T1 y T2 situados sobre las tangentes trazadas desde Cr, ya que se encuentran a distancia la raíz de la potencia que hemos calculado como en el caso anterior.


solucion_c_tg


Los centros de las soluciones se encontraran alineados con el centro de la circunferencia t y los correspondientes puntos de contacto.



Haz conjugado


Por último, podemos ver en la figura siguiente el haz conjugado (ortogonal) de un haz hiperbólico, que, como analizaremos posteriormente, es otro elíptico de recta base el eje radical del anterior. Vemos que los puntos límites del haz hiperbólico coinciden con los puntos fundamentales del elíptico.


conjugado_hiperbolico


Geometría métrica

lunes, 27 de mayo de 2013

Geometría métrica : Haz elíptico de circunferencias

elipticoAl definir un haz de circunferencias como un conjunto simplemente infinito que cumplían una restricción basada en la potencia, clasificábamos los haces en función de la posición relativa de sus elementos.


Los haces de circunferencias elípticos se encuentran entre estas familias de circunferencias. Veremos cómo determinar elementos que les pertenecen.


Dadas dos circunferencias secantes en un par de puntos, el eje radical “e” de las circunferencias coincide con la cuerda común a ambas circunferencias. Esta recta es perpendicular a la que contiene los centros de las circunferencias.




Las infinitas circunferencias que pasan por un par de puntos, determinan un haz de circunferencias elíptico. Los puntos comunes a todas ellas se denominan puntos fundamentales del haz



El eje radical de cualquier pareja de circunferencias de este haz es la recta e.

haz__eliptico
Todos los centros de las circunferencias del haz se encuentran en una recta, b, denominada recta base del haz.

Determinar una circunferencia del haz elíptico que pasa por un punto P


De las infinitas circunferencias de una haz elíptico, sólo una pasa por un punto dado. Veamos cómo determinar el centro de una circunferencia del haz que pase por un punto P cualquiera.


punto_de_paso

La circunferencia buscada tendrá su centro O1 en la recta base, b, y pasará por los puntos fundamentales A y B, así como por P, por lo que también lo tendrá en la mediatriz de estos puntos.

mediatriz

La solución, su centro, se determina por lo tanto mediante la intersección de dos lugares geométricos, la recta base y la mediatriz del segmento AP que contiene a dos puntos de paso.



Determinar las circunferencias del haz elíptico que son tangentes a una recta dada


La condición de tangencia viene determinada por una recta t cualquiera que no coincida ni con la recta base b ni con el eje radical e. El haz puede quedar definido por sus puntos fundamentales A y B por los que pasan todas las circunferencias que le pertenecen.


tangente_eliptico

Para resolver el problema buscaremos un punto Cr, del eje radical e, que tenga igual potencia respecto de las circunferencias del haz, y que pertenezca, a su vez, a la recta t ya que ésta última es el eje radical de las circunferencias que le son tangentes. Vemos pues, que Cr es el centro radical de la recta t (circunferencia de radio infinito) y las circunferencias del haz parabólico.


solucion_tangente_eiptico


Como se aprecia en la figura, la potencia de Cr respecto de todas las circunferencias del haz la podemos determinar encontrando la tangente (al cuadrado) a cualquier circunferencia del haz (en este caso la de diámetro AB). Esta distancia es la que habrá también a los puntos de tangencia de las soluciones buscadas. Tenemos dos soluciones ya que podemos llevar esta distancia Cr-O a ambos lados de Cr sobre la recta t.



Determinar las circunferencias del haz elíptico que son tangentes a una circunferencia dada


La generalización del problema la tenemos cuando la condición de tangencia es respecto de una circunferencia t cualquiera.


tangente_circunferencia_eliptico

En este caso, de nuevo, determinaremos un punto Cr que tenga igual potencia respecto de la circunferencia que marca la condición de tangencia y cualquiera de las del haz elíptico, por lo que debe encontrarse en su eje radical.


centro_radical_eliptico


Las soluciones pasarán por los puntos T1 y T2 situados sobre las tangentes trazadas desde Cr, ya que se encuentran a distancia la raíz de la potencia que hemos calculado como en el caso anterior.


solucion_final_eliptico_tangente


Los centros de las soluciones se encontraran alineados con el centro de la circunferencia t y los correspondientes puntos de contacto.



Haz conjugado


Por último, podemos ver en la figura siguiente el haz conjugado (ortogonal) de un haz elíptico, que, como analizaremos posteriormente, es otro hiperbólico de recta base el eje radical del anterior.


Haces_conjugados


Geometría métrica

domingo, 26 de mayo de 2013

Geometría métrica : Haz parabólico de circunferencias

Haz_parabolicoAl definir un haz de circunferencias como un conjunto simplemente infinito que cumplían una restricción basada en la potencia, clasíficábamos los haces en función de la posición relativa de sus elementos.


Los haces de circunferencias parabólicos se encuentran entre estas familias de circunferencias. Veremos cómo determinar elementos que les pertenecen.


Dadas dos circunferencias tangentes en un punto O, el eje radical "e" de las circunferencias coincide con la recta tangente común a ambas circunferencias. Esta recta es perpendicular a la que contiene los centros de las circunferencias.




Las infinitas circunferencias tangentes a dos circunferencias tangentes entre sí  en un punto O, determinan un haz de circunferencias parabólico. El punto O se denomina centro del haz.



El eje radical de cualquier pareja de circunferencias de este haz es la recta e.


circunferencias_del_haz_parabolico




Todos los centros de las circunferencias del haz se encuentran en una recta, b, denominada recta base del haz.



Determinar una circunferencia del haz parabólico que pasa por un punto P


De las infinitas circunferencias de una haz parabólico, sólo una pasa por un punto dado que no sea el centro O del haz. Veamos cómo determinar el centro de una circunferencia del haz que pase por un punto P cualquiera.


Haz_parabolico_punto


La circunferencia buscada tendrá su centro O1 en la recta base, b, y pasará por los puntos P y O, por lo que también lo tendrá en la mediatriz de estos puntos.


mediatriz


La solución, su centro, se determina por lo tanto mediante la intersección de dos lugares geométricos, la recta base y la mediatriz del segmento PO que contiene a dos puntos de paso.



Determinar las circunferencias del haz parabólico que son tangentes a una recta dada


La condición de tangencia viene determinada por una recta t cualquiera que no coincida ni con la recta base b ni con el eje radical e.

recta_tangente_al_haz_parabolico

Para resolver el problema buscaremos un punto Cr, del eje radical e, que tenga igual potencia respecto de las circunferencias del haz, y que pertenezca, a su vez, a la recta t ya que ésta última es el eje radical de las circunferencias que le son tangentes. Vemos pues, que Cr es el centro radical de la recta t (circunferencia de radio infinito) y las circunferencias del haz parabólico.


tangente_haz_parabolico

Como se aprecia en la figura, la potencia de Cr respecto de todas las circunferencias del haz la podemos determinar encontrando la distancia (al cuadrado) al centro O del haz. Esta distancia es la que habrá también a los puntos de tangencia de las soluciones buscadas. Tenemos dos soluciones ya que podemos llevar esta distancia Cr-O a ambos lados de Cr sobre la recta t.



Determinar las circunferencias del haz parabólico que son tangentes a una circunferencia dada


La generalización del problema la tenemos cuando la condición de tangencia es respecto de una circunferencia t cualquiera.

circunferencia_tangente_haz_parabolico

En este caso, de nuevo, determinaremos un punto Cr que tenga igual potencia respecto de la circunferencia que marca la condición de tangencia y cualquiera de las del haz parabólico, por lo que debe encontrarse en su eje radical.


centro_radical

Las soluciones pasarán por los puntos T1 y T2 situados sobre las tangentes trazadas desde Cr, ya que se encuentran a distancia la raíz de la potencia que hemos calculado como en el caso anterior.

soluciones_tangentes_haz_parabolico

Los centros de las soluciones se encontraran alineados con el centro de la circunferencia t y los correspondientes puntos de contacto.



Haz conjugado


Por último, podemos ver en la figura siguiente el haz conjugado (ortogonal) de un haz parabólico, que puede deducirse que es otro parabólico de recta base el eje radical del anterior.


haz_conjugado

 Geometría métrica

miércoles, 22 de mayo de 2013

Geometría métrica : Haces de circunferencias corradicales

Determinacion_eje_radicalAl estudiar la ecuación de una circunferencia en el plano. vimos que la determinación de una concreta se realizaba determinando tres parámetros que a su vez definen las coordenadas de su centro y radio.


Podemos decir por lo tanto que en el plano hay un conjunto triplemente infinito de circunferencias, por lo que si fijamos dos restricciones, o parámetros, nos quedará un conjunto simplemente infinito que denominaremos "haz de circunferencias"




Un haz de circunferencias es un conjunto simplemente infinito de ellas.



[caption id="" align="aligncenter" width="158"] Ecuación de la circunferencia[/caption]

Nos interesan las famílias de circunferencias que comparten un mismo eje radical, y tienen sus centros sobre una recta (denominada base del haz). A este conjunto le denominaremos "haz de circunferencias corradical".


Centro_haz


El punto O de intersección entre la recta base y el eje radical se denomina centro del haz.




Un haz de circunferencias corradicales es un conjunto simplemente infinito de circunferencias con eje radical común (y centros alineados en una recta base).



Recíprocamente, dada una circunferencia c y una recta e coplanaria con ella, se pueden hallar todas las circunferencias (haz) que tienen, con la primera, a la recta e por eje radical.



Clasificación de los haces corradicales


Existen tres familias que pueden diferenciarse en cuanto a las intersecciones de sus miembros, o la posición del eje radical respecto de las circunferencias. La clasificación puede servir para tratar de forma homogénea estas circunferencias, adaptando las construcciones básicas a cada caso:




Haz Elíptico


Cuando la recta e, eje radical, es secante a la circunferencia el haz se denomina elíptico.


Haz_elipticoEl centro O del haz es interior a las circunferencias y por tanto su potencia es negativa. El eje radical tiene también puntos de potencia nula (intersección de las circunferencias) y de potencia positiva (exteriores a las circunferencias)




Todas las circunferencias pasan por dos puntos del eje radical denominados puntos fundamentales del haz.



La circunferencia de menor radio tiene por diámetro la distancia entre los puntos fundamentales.



Haz Parabólico


Cuando la recta e, eje radical, es tangente a la circunferencia el haz se denomina parabólico.


Haz_parabolicoEl centro O del haz es el punto de contacto entre todas las circunferencias, y su potencia es nula (k=0). El resto de puntos del eje radical tienen un valor positivo de la potencia respecto de las circunferencias del haz.




Todas las circunferencias del haz son tangentes al eje radical en el centro del haz.



La circunferencia de menor radio es un punto, radio nulo, coincidente con el centro del haz, por lo que a este punto se le denomina punto límite (O = L) .



Haz Hiperbólico


Cuando la recta e, eje radical, no corta a la circunferencia el haz se denomina hiperbólico.


Haz_hiperbolicoEl centro del haz es exterior a todas las circunferencias, por lo que su potencia es de valor positivo y no nula.Todos los puntos del eje radical tienen valores de la potencia mayores que cero.




Las circunferencias del haz hiperbólico no se cortan entre sí



Existen dos circunferencias de radio nulo que se denominan puntos límites del haz o "polos" (conocidos como puntos de Poncelet), que veremos en detalle al analizar esta familia de circunferencias.


Geometría Métrica


Nota: Este tema, desarrollado durante un verano por el profesor D. Victorino González García, está dedicado a su memoria.