Determinación de un segmento conocido su punto medio [Solución]

Al plantear un problema de geometría métrica podemos abordar su resolución con diferentes estrategias. para ilustrar uno de estos métodos vamos a resolver el de determinar un segmento del que se conoce su punto medio junto con otras restricciones adicionales.

En particular analizaremos el caso en el que los extremos del segmento se encuentran situados sobre dos circunferencias coplanarias de radio arbitrario.

El enunciado del problema es, por lo tanto:

Determinar los segmentos que se apoyan sobre dos circunferencias y que tienen al punto M como punto medio.

Las circunferencias pueden tener cualquier radio y posición, dependiendo de la posición relativa del punto de paso M nos encontraremos con diferente número de soluciones al problema.

El método empleado en este caso se basará en el análisis de los lugares geométricos que determinarán los puntos que cumplan parte de las restricciones, encontrandose entre ellos aquellos que las cumplan todas.

Supongamos que el punto P pertenece a una de las soluciones. Este punto lo hemos situado sobre la circunferencia de centro O2. Si el punto fuera una solución, su simétrico P' respecto del punto medio M debería encontrarse sobre la otra circunferencia, ya que M es el punto medio.

Si realizamos esta operación con otro punto, el Q por ejemplo, el extremo Q' de nuevo será el simétrico de Q respecto de M. Si fuera la solución, se encontraría sobre la otra circunferencia. Al repetir la operación con los infinitos puntos de la circunferencia de centro O2, sus simétricos se encontrarán determinando una circunferencia simétrica de la anterior con centro de simetría el punto M.

Podemos por lo tanto determinar el lugar geométrico de todos los simétricos, que se encontrará en la circunferencia de igual radio cuyo centro, O2', será simétrico de O2.

Los puntos I1 e I2 de esta circunferencia simétrica que sean de intersección con la otra circunferencia de centro O1 sobre la que deben estar situados los extremos del segmento determinarán las dos posibles soluciones del problema.

El problema tendrá un máximo de dos soluciones en este caso, pudiendo no tener ninguna si las circunferencias no se cortan.

 Geometría Métrica

 

Determinación de un segmento conocido su punto medio [Enunciado]

Un interesante problema de geometría métrica que puede ilustrarnos la forma de buscar soluciones es el de determinar un segmento del que se conoce su punto medio junto con otras restricciones adicionales.

Ya que un segmento queda determinado por sus extremos (dos puntos), en el plano necesitaremos cuatro valores (datos simples) para fijar sus coordenadas cartesianas.

El conocimiento de su punto medio "M" supone imponer dos restricciones (las coordenadas del punto) que nos dejaran dos grados de libertad para determinar el conjunto de soluciones.  Impondremos por tanto dos nuevas restricciones para limitar las soluciones a un número finito de ellas, como por ejemplo asegurar que sus extremos se apoyen sobre dos circunferencias coplanarias.

El enunciado del problema podría ser por lo tanto:

Determinar los segmentos que se apoyan sobre dos circunferencias y que tienen al punto M como punto medio.

Las condiciones de paso para los extremos del segmento no influyen en el modelo general de resolución, como se verá al plantear el análisis del problema.

En la figura se representan las dos circunferencias sobre las que debe apoyarse el segmento, y su punto medio M.

• ¿En qué cambiaría el problema si una de las circunferencias fuera una recta?


• ¿Y si fueran dos rectas?


• ¿Cuántas soluciones tiene el problema?

Se deja el problema abierto al análisis del lector. Podrá consultar la solución, una vez publicada, en el siguiente enlace:

Solución Segmento conocido su punto medio

Geometría Métrica