La inversión es una transformación que permite resolver problemas con condiciones angulares.
Su aplicación puede ser directa o servir para reducir los problemas tratados a otros más sencillos de naturaleza conocida.
Los diferentes enfoques con los que podemos tratar un problema serán objeto de estudio mediante el desarrollo de un clásico y sencillo problema de tangencias.
La generalización de las ideas tratadas a otras formas de enunciado, en problemas similares de la misma naturaleza, será un ejercicio que permitirá al lector sistematizar los modelos de resolución.
Planteamiento del problema a estudiar
Supongamos el siguiente problema:
Determinar las circunferencias que son tangentes a una circunferencia y a una recta en uno de sus puntos.
[caption id="attachment_14017" align="aligncenter" width="387" caption="Enunciado del problema de tangencias con condición de punto de paso"]
[/caption]El problema puede ser un caso particular de angularidad, en particular de isogonalidad (igual ángulo), respecto de dos circunferencias y una condición de paso. Tres aspectos simplifican este caso sin restar generalidad:
- El ángulo puede ser considerado nulo (condición de tangencias).
- Una de las circunferencias es una recta (radio infinito)
- El punto de paso se encuentra sobre uno de los elementos (Punto de tangencia T)
Estas singularidades suelen simplificar el trazado (número de líneas necesarias para la resolución) aunque los conceptos utilizados sean los mismos. La utilidad en un problema didáctico es precisamente esa simplificación ya que permite enfocar los conceptos con menor dificultad.
Este problema se podría enunciar de forma general como:
Determinar la circunferencia que forma angulos alfa y beta con dos circunferencias dadas y pasan por un punto P.
Resolveremos como modelo de análisis el primer caso haciendo posteriormente los comentarios necesarios para que el lector pueda abordar el caso genérico y, en consecuencia, toda la diversidad de casos derivados.
Enfoque primero: Simplificación de la solución buscada
Abordaremos en primer lugar el problema mediante el enfoque menos conceptual y más laborioso desde el punto de vista de los trazados gráficos necesario. Este modelo será de aplicación siempre que se disponga de un punto de paso como condición o restricción geométrica para el problema, no permitiendo la generalización para el caso de tres circunferencias. Es por tanto un enfoque incompleto aunque de gran aplicación en numerosos problemas.
Aplicaremos la inversión al conjunto de datos, resolveremos el problema con los datos transformados y deshaciendo la transformación ( la solución obtenida en el conjunto invertido) determinaremos la solución buscada.
En este modelo de solución usaremos el punto de paso como centro de inversión. Al hacer esto y transformar los datos la solución que buscamos se convertirá en un elemento geométrico más sencillo (una recta), simplificando en gran parte el problema.
La idea principal es por tanto simplificar la solución a buscar
El valor de la potencia puede ser cualquiera, incluidos los que transformen algún elemento en él mismo con objeto de simplificar trazados. En un primer nivel de análisis evitaremos estos valores particulares de la potencia de inversión para diferenciar claramente el conjunto original y el transformado.
[caption id="attachment_14033" align="aligncenter" width="409" caption="Inversión de centro el punto de paso T"]
[/caption]Los punto P y Q de corte con la circunferencia de autoinversión elegida son dobles. La circunferencia transformada será tangente a las tangentes t1 y t2 desde el centro de inversión a la circunferencia, como vimos al estudiar la inversión en el plano.
Tomando como potencia de inversión la potencia del punto T respecto de la circunferencia c, ésta se convierte en una circunferencia doble (ortogonal a la de autoinversión).
La recta r es inversa de sí misma, ya que pasa por el centro de inversión.
Como la circunferencia buscada pasa por el punto T que hemos tomado como centro de inversión, su transformada será una recta que no pasa por dicho punto, y que cumplirá las respectivas condiciones angulares (tangencia) respecto de las inversas de la circunferencia c y la recta r ( será tangente a c' y a r' ).
La condición de tangencia entre dos rectas se traduce en condición de paralelismo entre ellas.
En la figura se han obtenido las transformadas de las soluciones, tal y como se ha descrito.
[caption id="attachment_14034" align="aligncenter" width="389" caption="Soluciones transformadas"]
[/caption]Las rectas s'1 y s'2 se convertirán en las soluciones al problema al deshacer la transformación. Los puntos de tangencia de estas rectas se convertirán en los de tangencia de dichas soluciones.
[caption id="attachment_14035" align="aligncenter" width="423" caption="Soluciones del problema al deshacer la inversión"]
[/caption]Si en lugar de tener condiciones de tangencia tuviéramos condiciones angulares, las rectas tangentes s'1 y s'2 lo serían a las circunferencias goniómetras que determinamos al estudiar los problemas de rectas con condiciones angulares.
Enfoque segundo: Inversión de un dato en otro
Este enfoque es el más generalista, permitiendo reducir los problemas más complejos al problema fundamental de tangencias para el caso recta o circunferencia, o bien obtener relaciones entre los elementos que lo simplifiquen.
Podemos utilizar dos centros de inversión que relacionan a la recta r y la circunferencia c ( o a dos circunferencias). Un centro positivo I+, y otro que tendrá potencia negativa, I-. En este caso de análisis deben encontrase sobre la circunferencia c.
El punto de tangencia T se transformará en T' mediante la inversión de potencia positiva y en T'' con la inversión de potencia negativa, dando lugar cada uno de ellos a una de las soluciones buscada.
[caption id="attachment_14039" align="aligncenter" width="374" caption="Inversión de un dato en otro"]
[/caption]En estas condiciones cualquier elemento tangente a la circunferencia c se convertirá en uno tangente a su transformada, la recta r=c'. Las soluciones serán por tanto circunferencias dobles, inversas de sí mismas, que pasarán por los puntos T y T' y serán ortogonales a la de autoinversión (no representada)
[caption id="attachment_14042" align="aligncenter" width="381" caption="Solución mediante la inversión de un dato en otro"]
[/caption]Las soluciones se determinarán al encontrarse sus centros en la perpendicular a la recta por el punto de tangencia, en la mediatriz de TT' o alineados con el centro de la circunferencia dato y su punto de tangencia.
En otro artículo generalizaremos el caso de angularidad genérica; veremos que la condición de ortogonalidad a la circunferencia de autoinversión permite reducir a haces de circunferencias las familias de soluciones.
Este enfoque de la inversión de un dato en otro será la base para la sustitución de condiciones angulares por condiciones de ortogonalidad.
