El concepto de potencia de un punto respecto de una circunferencia se basa en el producto de la mayor por la menor de las distancias de un punto a una circunferencia.
Estos valores de la distancia se dan en la cuerda que contiene al centro de la circunferencia y al punto, es decir, en el diámetro que contiene a dicho punto.
¿Es posible generalizar este concepto para considerar otras cuerdas que pasen por el punto P?
La potencia W de un punto P respecto de una circunferencia c es el producto de la mayor por la menor distancia del punto P a la circunferencia c.
[caption id="" align="aligncenter" width="321" caption="Potencia de un punto respecto de una circunferencia"]
[/caption]Si consideramos dos rectas que pasan por un punto P y seccionan a una circunferencia c, los puntos de corte con dicha circunferencia (A, B, C y D) determinan dos triángulos semejantes:
- PAD
- PCB
[caption id="attachment_13826" align="aligncenter" width="463" caption="Generalizacion del concepto de potencia"]
[/caption]En efecto, al aplicar los conceptos de arco capaz sobre un segmento, vemos que los ángulos en B y D deben ser iguales por ser inscritos en la circunferencia que pasa por los cuatro punto. Por otro lado los triángulos comparten el vértice P y por lo tanto su ángulo, y en consecuencia son semejantes.
Aplicando el teorema de Thales a los dos triángulos semejantes tendremos que:
PA/PD = PC/PB
y por lo tanto
PA * PB = PC * PD = Constante
Lo que demuestra que la potencia desde el punto P es independiente de la recta elegida, como queríamos demostrar.
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